Resistência e sólidos platónicos

Problemas de difícil resolução por métodos convencionais, mas que admitem uma solução simples e elegante.

Mensagempor jap em Terça Dez 18, 2007 9:09 pm

hexphreak Escreveu:Temos de calcular o potencial de cada vértice e a corrente? :x?:


Usar simetria! :xD:
José António Paixão
Departamento de Física da FCTUC
Avatar do utilizador
jap
Site Admin
Site Admin
 
Mensagens: 6790
Registado: Quinta Nov 09, 2006 9:34 pm
Localização: Univ. de Coimbra

Mensagempor hexphreak em Terça Dez 18, 2007 10:34 pm

Ainda estou um bocado confuso - não estou lá muito habituado a potenciais, correntes, etc... - mas com um empurrão do meu pai consegui lá chegar :wink:

Portanto, seja como o Prof. disse V o nº de vértices e n o número de arestas ligadas a cada vértice (em linguagem de grafos, o grau de cada vértice). Sejam também dois vértices quaisquer A e B, adjacentes, com A ao potencial 1 e B ao potencial 0, para facilitar os cálculos (é uma questão de convenções). Agora a parte tricky :xeek: é que fazemos uma rotação do sólido em torno de A, de modo a que T "coincida" com todos os outros vértices adjacentes.

Assim, para cada rotação cada vértice tem um potencial bem definido. Seja p a média aritmética de todos os potenciais de um vértice. Em A, p = 1, já que a rotação é feita em seu torno. Por simetria, todos os vértices adjacentes a A têm o mesmo p. E como não há corrente a fluir no resto do sólido, todos os outros vértices do sólido também têm o mesmo potencial médio! (Isto é um bocadinho tricky, só me lembrei porque tinha lido há 10 minutos a página referente à corrente :xrazz: ...)

Agora, para determinar a resistência, só temos que determinar p, e depois calcular a corrente para utilizarmos a lei de Ohm :D Então qual é este valor? Se repararmos, mais uma vez por simetria, o potencial médio de todos os vértices é 0.5 (por acaso, não estou assim muito certo deste passo, mas como chegamos ao resultado correcto...). Daqui torna-se bastante fácil:

Como o potencial em A é 1, temos p = \frac{0.5V - 1}{V - 1} - i.e. distribuímos o potencial restante por todos os outros vértices. Logo, a corrente média que sai de A é n(1 - p) = \frac{nV}{2V - 2}, e pela lei de Ohm:

R = \frac{V}{I} \Leftrightarrow R = \frac{2V - 2}{nV} :swet:

Espero não ter sido muito confuso, mas a verdade é que eu próprio de certeza que não conseguia fazer isto tudo sem os livros (e as dicas) :xrool: Bem, afinal de contas é tricky...
última vez editado por hexphreak s Quarta Dez 19, 2007 9:09 pm, editado 1 vez no total
Avatar do utilizador
hexphreak
top-Quark!
top-Quark!
 
Mensagens: 1959
Registado: Segunda Nov 05, 2007 8:52 pm
Localização: Maia/Porto

Mensagempor jap em Terça Dez 18, 2007 11:05 pm

Vais ter de me dar um tempo para verificar o teu raciocínio (hoje tenho um trabalho importante para entregar amanhã... :x?:). Mas parece-me ir no sentido correcto...
:xD:
José António Paixão
Departamento de Física da FCTUC
Avatar do utilizador
jap
Site Admin
Site Admin
 
Mensagens: 6790
Registado: Quinta Nov 09, 2006 9:34 pm
Localização: Univ. de Coimbra

Mensagempor hexphreak em Terça Dez 18, 2007 11:09 pm

jap Escreveu:(... )hoje tenho um trabalho importante para entregar amanhã... :x?:

Não, não sou o único... :xlol: Bem boa sorte com isso então Prof.!
Avatar do utilizador
hexphreak
top-Quark!
top-Quark!
 
Mensagens: 1959
Registado: Segunda Nov 05, 2007 8:52 pm
Localização: Maia/Porto

Mensagempor hexphreak em Quarta Dez 19, 2007 9:14 pm

Há uma expressão mais simples da resistência equivalente, que se pode obter se pensarmos um bocadinho em termos de grafos :xD: Aqui fica ela:

R_e = \frac{V - 1}{A}

V o nº de vértices e A o nº de arestas.
Avatar do utilizador
hexphreak
top-Quark!
top-Quark!
 
Mensagens: 1959
Registado: Segunda Nov 05, 2007 8:52 pm
Localização: Maia/Porto

Re: Resistência e sólidos platónicos

Mensagempor marcelo_celta em Sexta Out 14, 2011 12:21 pm

hexphreak,

Você sabe me dizer para que serve essa fórmula geral encontrada por você ? Serve para qualquer poliedro ? Obrigado.
marcelo_celta
gluão
gluão
 
Mensagens: 19
Registado: Segunda Set 27, 2010 4:18 pm

Re: Resistência e sólidos platónicos

Mensagempor profrenatobrito em Segunda Ago 26, 2013 1:27 pm

Essa Questão da Resistência Equivalente É muito interessante mesmo.
Essa questão, assim como outras maravilhosas, você encontrará todas resolvidas em vídeo, com teoria completa e tudo mais, aqui:
http://www.vestseller.com.br/detalhamen ... uto_id=645
Avatar do utilizador
profrenatobrito
gluão
gluão
 
Mensagens: 8
Registado: Domingo Ago 25, 2013 11:13 pm
Localização: Sou autor de Física, Editor e professor de Física

Anterior

Voltar para Problemas tricky

Quem está ligado

Utilizadores a navegar neste fórum: Nenhum utilizador registado e 2 visitantes

cron