Atracção fatal

Problemas de difícil resolução por métodos convencionais, mas que admitem uma solução simples e elegante.

Atracção fatal

Mensagempor jap em Terça Jun 12, 2007 9:58 pm

Uma partícula de carga +q e massa m encontra-se próximo de uma grande folha metálica, ligada à Terra, à distância d da folha. Quando é largada, a carga sente uma atracção fatal pelo plano metálico. :shock:

Imagem

Porquê? :roll:


Depois de explicarem esta atracção, calculem o tempo que a carga demora a atingir o plano metálico. Neste problema a força da gravidade é desprezável.
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Mensagempor Zé Teixeira em Terça Jun 12, 2007 10:16 pm

Está nas Feynman Lectures :P
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Mensagempor jap em Terça Jun 12, 2007 10:28 pm

Zé Teixeira Escreveu:Está nas Feynman Lectures :P



Ah é? :D Não me lembrava, mas olha que não sei se calcula o tempo que a partícula demora a chocar com o plano... Penso que não... :roll: Este problema envolve dois truques, creio que o Feynman só explica um! :P

Este problema é um tricky clássico, está em muitos livros! :D
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Mensagempor Real em Quarta Jun 13, 2007 12:41 am

Hmm...
Para o tempo basta pegar no problema "corpos celestes", não?..
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Mensagempor jap em Quarta Jun 13, 2007 12:45 am

Real Escreveu:Hmm...
Para o tempo basta pegar no problema "corpos celestes", não?..


Claro, não era o Feynman que dizia "similar problems, same solutions" :P

Agora é só juntar os dois truques e fazer sair o coelho, quero dizer o tempo, da cartola! :D
última vez editado por jap s Quinta Jun 14, 2007 8:26 pm, editado 1 vez no total
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Mensagempor jap em Quarta Jun 13, 2007 12:48 am

Hum, possivelmente nem todos terão acesso às Lectures do Feynmann para verem a explicação do 1º truque - o chamado (truque ou) método das imagens.

Alguém que já conheça o truque quer explicá-lo aqui no fórum aos caloiros? :roll:
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Mensagempor Real em Quarta Jun 13, 2007 12:54 am

Hmmm.. nós na FCUP aprendemos isso em electromagnetismo I.
Amanhã posso escrever qualquer coisa sobre o assunto :wink:
A ver se me inspiro...
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Mensagempor jap em Quarta Jun 13, 2007 10:56 am

Real Escreveu:Hmmm.. nós na FCUP aprendemos isso em electromagnetismo I.
Amanhã posso escrever qualquer coisa sobre o assunto :wink:
A ver se me inspiro...


Obrigado Diogo, pela tua disponibilidade! :D

Caloiros, vão aprender um truque espectacular que habitualmente só se ensina aos alunos do 2º ano de um curso de Física universitário! :shock:
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Mensagempor Real em Quarta Jun 13, 2007 6:27 pm

Bem, como prometido, vou tentar explicar o método das imagens :D

Como é bem sabido, o potencial eléctrico numa dada posição \vec{r} é dado por:

V(\vec{r})=V_0-\int_{\vec{r_0}}^{\vec{r}}{\vec{E}} \cdot d\vec{r}

Contudo este potencial não é único: A constante V_0 é arbitraria e portanto podemos obter uma infinidade de potenciais a partir de um mesmo campo eléctrico \vec{E}.
O facto importante é que se impusermos determinadas condições fronteira o potencial passa a ser único.

Existem dois teoremas (equivalentes) que dizem que condições são essas:
- Se conhecermos o potencial em todos os pontos de uma determinada superfície então a função potencial obtida é única (condição de fronteira de Dirichlet)
- Se conhecermos a componente normal do campo eléctrico em todos os pontos de uma superfície, então a função potencial obtida é única (condição de fronteira de von Neumann)

Estes teoremas são conhecidos como teoremas da unicidade e estão demonstrados em (1) (mete cálculo vectorial...). O único pressuposto é lei de Maxwell-Gauss.

O método das imagens é uma consequência directa deste carácter único do potencial (daí o meu trabalho em realçar sistematicamente a palavra único :wink:).

Vejamos o problema de duas cargas pontuais simétricas afastadas de uma distância 2a.
É fácil de observar que a superfície equatorial tem potencial nulo. Se não, basta calcular:

V(r)=V_1(r_1)+V_2(r_2)=\frac{KQ}{r_1}-\frac{KQ}{r_2}

Na superfície em causa r_1=r_2=a e, portanto, V(r)=0.

Imagem
(de (2))

Ora, este problema é equivalente ao problema que o prof. Paixão indicou! Basta subtituir o plano condutor a potencial 0 pela carga negativa e ficamos com o problema trivial das duas cargas! Esta carga negativa fictícia é chamada de carga imagem ou carga virtual.
Isto parece estranho à primeira vista, mas como o plano condutor está a um potencial fixo e conhecido ele funciona como uma condição fronteira de Dirichlet! Portanto, como o potencial é único (consequência dos teoremas da unicidade) a função potencial devida ao sistema de duas cargas simétricas é a mesma da do sistema da carga e do plano condutor. Consequentemente, também os campos eléctricos de ambos os sistemas são iguais!, já que \vec{E}=-\nabla{V}.
Mesmo assim, podemos ainda ir mais longe e calcular a densidade de cargas que se distribuem na superfície condutora! Mais: é possível calcular a carga total que se distribui na superfície e obtém-se precisamente -Q! (ver (1)).

Para complementar esta informação existem sites no wikipedia:
- Método das imagens
- Método das cargas imagem

Ou então:
(1) Campo Electromagnético, da Lucília Brito, Manuel Fiolhais e Constança Providência (pág. 166,167)
(2) Feynman volume 2, 6.7,6.8,6.9, pág. 6-8,6-11

Como desafio, proponho que pensem no caso de um sistema formado por uma carga pontual Q próxima de uma esfera condutora ligada à terra (potencial nulo) e determinem quais as cargas imagem apropriadas (isto, sem olhar para o Feynman, claro :wink:)
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Mensagempor Ivo_Timóteo em Quarta Jun 13, 2007 9:31 pm

Genial! Gostei mesmo...
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Mensagempor jap em Quarta Jun 13, 2007 11:44 pm

Ivo_Timóteo Escreveu:Genial! Gostei mesmo...


Ainda bem que gostaste! :D

Este é um truque realmente incrível e muito útil.

Obrigadão, Diogo, por essa explicação extremamente cuidada do método das imagens! :hands:

Agora já sabem porque se chama assim, os condutores actuam (para este efeito) como espelhos das cargas "reais".
:D
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Mensagempor Real em Quinta Jun 14, 2007 2:38 pm

É nos detalhes que está a Ciência :wink:
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Mensagempor Irakian Monkey em Sexta Jun 15, 2007 2:34 am

Concordo com o Ivo, este metodo é mesmo de génio e a explicação do Diogo está optima, obrigado. :hands:

Pegando na sugestão do Diogo de utilizar o mesmo metodo que no problema dos corpos celestes então o tempo deverá ser:

\displaystyle t=\frac{\pi }{2q} \sqrt{\frac{md^3}{K}}

Pegando no desafio do Diogo parece-me que as cargas imagem teriam de ser "postas" da seguinte forma: uma no centro da esfera de carga contrária e infinitas (ou pelo menos muitas) cargas iguais à real à mesma distância ao centro da esfera que esta (o que seria equivalente, penso eu a uma superficie esferica carregada). A carga que ficava no centro teria um valor de carga dependendo do raio da esfera, da distância da carga real à esfera e obviamente do valor da carga real. Parece-me que no caso em que a distância da carga real ao centro da esfera é o dobro do raio da esfera entao a o valor da carga imagem central é igual ao valor da carga da "superficie carregada imagem".
Será que tem alguma coisa a ver com isto?
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Mensagempor Real em Sexta Jun 15, 2007 4:24 pm

A filosofia é essa! :wink:
Contudo, posicionar uma carga imagem no centro da esfera retira-te muita liberdade de escolha, complicando-te o problema! :?
Pensa antes numa única carga imagem no eixo que une a carga real ao centro da esfera.
Mantém a posição e o valor da carga como incógnitas e tenta relacioná-las com o raio da esfera e com o valor da carga real :wink:
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Mensagempor jap em Sexta Jun 15, 2007 11:00 pm

E enquanto o Pedro Carrilho anda à volta com o problema da esfera, aqui vai mais um problema olímpico giro baseado no primeiro que aqui coloquei.

Calculem o período do pêndulo da figura! :D

Imagem


O plano, condutor, está ligado à terra e o bolbo do pêndulo tem carga q e massa m. Assumam, é claro, que o fio do pêndulo é isolador! :lol:
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