Elasticamente enrolando!

Problemas de difícil resolução por métodos convencionais, mas que admitem uma solução simples e elegante.

Elasticamente enrolando!

Mensagempor jap em Domingo Jun 03, 2007 2:33 pm

A figura mostra uma massa m ligada a um fio elástico esticado, de comprimento L muito superior ao seu comprimento de equilíbrio (podem considerá-lo zero). O fio elástico tem, nesta situação, uma constante elástica K. É comunicada à massa m uma velocidade tal que ela começa a descrever um arco de circunferência, sobre uma mesa horizontal sem atrito. Mas o elástico está preso a um tubo, vertical, de raio a, tal como mostra a figura, pelo que o elástico vai enrolar-se em torno do tubo e, passado algum tempo, a massa m vai colidir com tubo. Considerando que a << L, e que o fio enrola no tubo sem deslizar, quanto tempo demora a massa m a bater no tubo?

Imagem

Nota: como o comprimento do fio vai variando, a constante elástica do fio também. Pensem no que acontece à constante elástica de uma mola se a partirem em duas... :roll: ou, inversamente, se associarem duas molas em série... :roll:
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Mensagempor pmp em Domingo Jun 03, 2007 4:07 pm

Será que o tempo é:

\tau=\frac{L}{2a}\sqrt{\frac{m}{K}} ? :?
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Mensagempor jap em Domingo Jun 03, 2007 4:14 pm

pmp Escreveu:Será que o tempo é:

\tau=\frac{L}{2a}\sqrt{\frac{m}{K}} ? :?


Pedro,

O resultado correcto é

\tau=\frac{4}{5}\frac{L}{a}\sqrt{\frac{m}{K}} :D

Já estás no bom caminho... :wink:
Encontrar o factor numérico adimensional que multiplica \frac{L}{a}\sqrt{\frac{m}{K}} é realmente um pouco difícil... :?
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Mensagempor pmp em Segunda Jun 04, 2007 12:54 pm

É possível obter a constante elástica num dado momento em função unicamente de K e do comprimento do fio neste instante? :?
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Mensagempor jap em Segunda Jun 04, 2007 2:59 pm

pmp Escreveu:É possível obter a constante elástica num dado momento em função unicamente de K e do comprimento do fio neste instante? :?


Afirmativo, essa é a parte difícil do problema :P , mas é possível escrever a constante elástica do fio k(x) em função do comprimento do fio, x, num dado instante, do comprimento inicial do fio, L, e da constante K. :wink:
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Mensagempor pmp em Segunda Jun 04, 2007 6:20 pm

Pois é, mas reparei que nos meus cálculos nunca recorri ao facto de a << L, se calhar é por aí. :?
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Re: Elasticamente enrolando!

Mensagempor hexphreak em Quarta Abr 01, 2009 10:04 pm

Finalmente resolvi este problema :D Obtive a seguinte lei do movimento:

\displaystyle x = L \left( 1 - {5 \over 4}{a \over L} \omega_0 t \right)^{3/5}

onde \displaystyle \omega_0 = \sqrt{K \over m}. Fazendo x = 0, obtemos \displaystyle t = {4 \over 5}{L \over a}\sqrt{m \over K} :)
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