Champanhe

Problemas de difícil resolução por métodos convencionais, mas que admitem uma solução simples e elegante.

Re: Champanhe

Mensagempor jpftexas em Sexta Out 24, 2008 1:58 pm

jap Escreveu:
Bom avanço,

Irei melhorar o \LaTeX e fazer alguns comentários mais logo.

E para o problema do coeficiente de atrito cinético, alguma ideia? :roll:


como assim o problema? saber o valor do coeficiente de atrito? não sei... :roll:

já agora, era necessário calcular o atrito do ar para estimar o alcance da rolha?
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Re: Champanhe

Mensagempor jap em Sexta Out 24, 2008 2:09 pm

jpftexas Escreveu:
jap Escreveu:
Bom avanço,

Irei melhorar o \LaTeX e fazer alguns comentários mais logo.

E para o problema do coeficiente de atrito cinético, alguma ideia? :roll:


como assim o problema? saber o valor do coeficiente de atrito? não sei... :roll:

já agora, era necessário calcular o atrito do ar para estimar o alcance da rolha?



Em primeiro lugar desculpa, mas surgiu entretanto uma tarefa urgente e ainda não tive tempo de fazer aquilo que prometi fazer ontem. A questão que falta resolver é a de estimar o coeficiente de atrito cinético, sem o que não poderemos fazer uma estimativa numérica da velocidade de saída da rolha....

Quanto ao atrito do ar, eu desprezei-o nos meus cálculos, em primeira aproximação o erro não será muito...podemos refinar o cálculo mais tarde. :wink:
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Re: Champanhe

Mensagempor jpftexas em Sexta Out 24, 2008 9:46 pm

Acho que encontrei alguma coisa de interesse quanto ao coeficiente de atrito:

http://bdml.stanford.edu/twiki/bin/view ... ctionTests

ou

http://www.ingentaconnect.com/content/k ... awler=true

neste ultimo caso dão um intervalo para o coeficiente de 0.4 a 1.2.
pode-se fazer uma media dos valores uma vez que o problema não é nada de muito rigoroso... :wink:

mas tirando este factor o resto do raciocínio e as formulas estão correctas? :roll:
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Re: Champanhe

Mensagempor jap em Sexta Out 24, 2008 10:12 pm

Vou tentar reescrever aqui o teu raciocínio, mudando ligeiramente a notação para ficar mais conforme com o que habitualmente usamos:

Seja d o comprimento da rolha, de massa m, dentro da garrafa; pelo teorema da energia cinética, a velocidade v_0 com que a rolha é expulsa é

\frac{1}{2} mv_0^2 = (F_0 -F_{\rm ac}) \times d

onde F_0 é a força resultante da diferença de pressão entre o gás no interior da garrafa e F_{rm ac} é a força de atrito cinético entre a rolha e o gargalo, assumindo que ela é constante durante a expulsão da rolha.

v_0 = \sqrt{\frac{2d\left (F_0 - F_{\rm ac}\right)}{m}

sendo F_0 = \Delta P S = \Delta P \pi r^2 (repara que a tua expressão para v_0 não estava totalmente correcta) e onde \Delta P é a diferença de pressão entre o gás no interior da garrafa e a pressão exterior (pressão atmosférica). Atenção: a
pressão deve ser expressa em Pa, usar 1 atm = 101325 Pa para converter as unidades. Sabemos ainda que

F_{\rm ac} = \mu_c N, onde N é a força de compressão normal que actua entre as superfícies.

Vê se concordas. :wink:

A minha questão agora é: mas será que a força de atrito cinético é constante durante a expulsão da rolha? E será que, na última expressão, podemos fazer N = F_0? O que acham? :roll:
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Re: Champanhe

Mensagempor jpftexas em Sábado Out 25, 2008 10:24 am

segundo a Wikipédia no caso da expulsão da rolha pode considerar-se a Normal (para a força de atrito) como a força eficaz. mas não tenho certezas claro :mock:

Wikipédia Escreveu:Rolha de champanhe

Nesse exemplo, para acharmos a força que o atrito exerce na rolha sobre a boca da garrafa de vidro quando se tenta praticar a soltura da rolha de cortiça, precisamos antes achar a área de contato entre a rolha e o bocal. Após obtermos esse dado por contas matemáticas (superfície interna de um cilindro), é preciso achar também a pressão exercida pela rolha no bocal. A pressão da rolha atua como a Força Normal sob a área de contato, e, sabendo essas duas informações e possuindo os coeficientes de atrito, basta utilizar a fórmula para obter a Força de Atrito quando se tenta abrir tal garrafa.


para ver a pagina na integra: http://pt.wikipedia.org/wiki/Atrito
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Re: Champanhe

Mensagempor jap em Sábado Out 25, 2008 10:42 am

Certo, sem dúvida que podes usar a força normal na expressão F_{\rm ac} = \mu N, a questão é se podes usar de seguida a expressão N = F_0, sendo F_0 dado pela diferença de pressão entre o interior e o exterior da garrafa! Gostava de ouvir uma justificação para este raciocínio...

Ou seja: A força de compressão entre a rolha e a parede lateral do gargalo da garrafa é devida à pressão do gás? O que acham? :roll:
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Re: Champanhe

Mensagempor jpftexas em Segunda Out 27, 2008 4:53 pm

jap Escreveu: A força de compressão entre a rolha e a parede lateral do gargalo da garrafa é devida à pressão do gás? O que acham?


suponho que essa força de compressão seja a força normal do gargalo na rolha uma vez que esta, no seu volume original, seria maior ( estando agora deformada e aplicando uma força , de expansão, no gargalo). :) sem certezas claro
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Re: Champanhe

Mensagempor jap em Segunda Out 27, 2008 10:09 pm

jpftexas Escreveu:
jap Escreveu: A força de compressão entre a rolha e a parede lateral do gargalo da garrafa é devida à pressão do gás? O que acham?


suponho que essa força de compressão seja a força normal do gargalo na rolha uma vez que esta, no seu volume original, seria maior ( estando agora deformada e aplicando uma força , de expansão, no gargalo). :) sem certezas claro


Certo! Concordo contigo. :wink:

E agora uma outra questão para pensarem: essa força dependerá da área da rolha em contacto com o gargalo? Sim ou não? :roll: Argumentos a favor e contra, please! :mock:
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Re: Champanhe

Mensagempor jpftexas em Quinta Out 30, 2008 6:10 pm

jap Escreveu:Certo! Concordo contigo. :wink:

E agora uma outra questão para pensarem: essa força dependerá da área da rolha em contacto com o gargalo? Sim ou não? :roll: Argumentos a favor e contra, please! :mock:


Acho que a força de expansão actua de dentro para fora da rolha e estando a rolha em contacto com o gargalo suporia que dependeria da área de contacto.

Por outro lado as forças de atrito não costumam depender da área de contacto, mas sim da normal à força eficaz. Portanto a minha hipótese é que a força de compressão não depende da área de contacto.
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Re: Champanhe

Mensagempor jap em Quinta Out 30, 2008 6:20 pm

jpftexas Escreveu:
jap Escreveu:Certo! Concordo contigo. :wink:

E agora uma outra questão para pensarem: essa força dependerá da área da rolha em contacto com o gargalo? Sim ou não? :roll: Argumentos a favor e contra, please! :mock:


Acho que a força de expansão actua de dentro para fora da rolha e estando a rolha em contacto com o gargalo suporia que dependeria da área de contacto.

Por outro lado as forças de atrito não costumam depender da área de contacto, mas sim da normal à força eficaz. Portanto a minha hipótese é que a força de compressão não depende da área de contacto.


Obrigado por teres pensado num assunto e teres colocado aqui a tua reflexão sobre ele! :D

De facto, é um assunto "polémico" pelas razões que apresentas. Quero ouvir mais opiniões. :lol:

A força de atrito entre a rolha e o gargalo da garrafa dependerá, ou não, da área de contacto? Ou seja, será que à medida que a rolha sai a força de atrito mantém-se constante, ou vai diminuindo? :roll:
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Re: Champanhe

Mensagempor jpftexas em Quinta Nov 06, 2008 10:09 pm

tenho a sensação que ninguém vai partilhar as suas ideias sobre este problema.
devem tar todos ocupados com míticos e problemas geometricos como "Escapar da lente!", entre outos... :D

acha que é de encerrar este capitulo?
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Re: Champanhe

Mensagempor jap em Quinta Nov 06, 2008 10:16 pm

jpftexas Escreveu:(...)
acha que é de encerrar este capitulo?


Sim, vamos abrir a garrafa de champanhe no Domingo :lol:, acho bem que encerremos este problema antes. :D

Dou mais um dia ao pessoal para pensar nele. Amanhã à noite posto aqui a minha solução. :P
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Re: Champanhe

Mensagempor jap em Sábado Nov 08, 2008 10:41 pm

Bem, já que ninguém mais se pronuncia, vou aqui colocar a minha proposta de resolução do problema... :D
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Re: Champanhe

Mensagempor jap em Sábado Nov 08, 2008 11:29 pm

Então aqui vai.

Em primeiro lugar, a questão da força de atrito entre o gargalo da rolha e a rolha. Se pensarem um bocadinho verão que esta força de atrito é proporcional à área de contacto entre a rolha e o gargalo. A razão é a seguinte. A força de atrito é proporcional à força normal sobre a rolha, e está é uma força de compressão que, tal como uma pressão, é proporcional à área de contacto. Assim,

F_a = \mu N, ou ainda,


F_a  = \mu P_c \times 2\pi r (l-x)

onde P_c é a pressão de compressão entre a rolha e o gargalo, que depende da elasticidade da rolha e do grau de compressão da rolha quando entra na garrafa. O comprimento l-x é o comprimento da rolha no interior da garrafa. Quando x = 0 a rolha está toda dentro da garrafa e quando x = l ela está prestes a sair da garrafa.

Como nós sabemos que quando x = 0 a força de atrito equilibra a diferença de pressão entre o gás no interior da garrafa e a pressão atrmosférica, \Delta P,
F_a (x = 0 ) = \Delta P \pi r^2.

Combinando esta expressão com a anterior podemos determinar a constante \mu, que vem

\mu = \frac{\Delta P r}{2 l}

e, substituindo,

F_a = \Delta P \pi r^2 \frac{l-x}{l}


A resultante das forças que actuam sobre a rolha é (em valor algébrico)

R = \Delta P \pi r^2 - F_a = \Delta P \pi r^2 \,\frac{x}{l}

Aplicando o teorema da energia cinética, o trabalho da resultante das forças que actuam sobre a rolha é igual à variação da energia cinética da rolha.

Como calcular o trabalho da resultante? Façam o gráfico de R em função de x e a partir da área podem calcular facilmente o trabalho:

W = \frac{1}{2}\Delta P \pi r^2 l

Então

\frac{1}{2}\Delta P\pi r^2 l = \frac{1}{2}mv^2

e v = \sqrt{\frac{\Delta P \pi r^2 l}{m}}.

agora é só substituir os valores e calcular o valor numérico para v, a velocidade com que a rolha é ejectada... :D
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Champanhe

Mensagempor jpftexas em Terça Nov 11, 2008 2:44 pm

Aaaahhhhh :XD ja estou a perceber o que faltava na minha expressao...
e tambem o sentido das perguntas :wall:
obrigado
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