Hipnótico!

Problemas de difícil resolução por métodos convencionais, mas que admitem uma solução simples e elegante.

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Mensagempor jap em Domingo Maio 13, 2007 8:35 pm

Bom, estive a pensar esta tarde que problema seria apropriado para celebrar o meu milésimo post no Quark! :lol:

E que tal um problema hipnótico? :shock: É uma nova classe de problemas caracterizado pela estranha propriedade de poder colocar as nossas mentes num estado hipnótico, de tanto olharmos para um diagrama estilo "vertigo" fractal :?

Já vão perceber do que estou a falar. :lol: O problema é o seguinte.

Considerem a figura em baixo onde terão de imaginar que os traços são fios eléctricos finos, todos do mesmo material e com a mesma secção. O pedaço do fio com o comprimento do lado do quadrado principal, L, tem resistência R. Imaginem que o circuito se prolonga ad infinitum para o centro do quadrado seguindo o padrão da figura (claro que em termos físicos isto não é possível, devido à secção finita do fio... 8) ).

A pergunta é a seguinte. Qual é a resistência equivalente (em unidades de R) entre os pontos A e B? :roll:

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Good luck, e não entrem em transe! :lol:
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Mensagempor Ivo_Timóteo em Domingo Maio 13, 2007 9:44 pm

Será

R=\frac{2R+\sqrt{2}R}{6} ?
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Mensagempor jap em Domingo Maio 13, 2007 10:04 pm

Ivo_Timóteo Escreveu:Será

R=\frac{2R+\sqrt{2}R}{6} ?


Infelizmente não :cry: , a resposta correcta é

R_{\rm AB}  \sim 0,659 R,

onde 0,659... é uma aproximação a um número irracional - esse número é uma fracção que contém \sqrt 2 no numerador..., pelo que não andas longe da verdade... :D
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Mensagempor pmp em Domingo Jun 03, 2007 1:24 am

Pronto, cheguei lá, a fracção é \frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}.

O segredo é verificar que pela simetria do circuito os pontos que pertencem ao eixo de simetria vertical do quadrado estão ao mesmo potencial (toda a corrente passa por eles) e que o lado do terceiro quadrado é metade do primeiro, o lado do quarto metade do segundo, ... :D

Depois de simplificar o circuito é aplicar as leis de Kirchoff e cuidado com as contas, enganei-me umas tantas vezes.
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Mensagempor jap em Domingo Jun 03, 2007 11:19 am

pmp Escreveu:Pronto, cheguei lá, a fracção é \frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}.

O segredo é verificar que pela simetria do circuito os pontos que pertencem ao eixo de simetria vertical do quadrado estão ao mesmo potencial (toda a corrente passa por eles) e que o lado do terceiro quadrado é metade do primeiro, o lado do quarto metade do segundo, ... :D

Depois de simplificar o circuito é aplicar as leis de Kirchoff e cuidado com as contas, enganei-me umas tantas vezes.


É isso mesmo, Pedro! :hands:

Possivelmente também reparaste que o circuito contém uma cópia de si mesmo no seu interior reduzida de um factor 2 em dimensão - pelo que podemos chegar à solução usando as técnicas que já são nossas conhecidas para problemas recursivos... :D

Já agora, conta lá: o desenho deste circuito conseguiu, ou não, hipnotizar a tua mente? :lol:
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Mensagempor pmp em Domingo Jun 03, 2007 2:04 pm

jap Escreveu:

Possivelmente também reparaste que o circuito contém uma cópia de si mesmo no seu interior reduzida de um factor 2 em dimensão - pelo que podemos chegar à solução usando as técnicas que já são nossas conhecidas para problemas recursivos... :D


Pois foi! O circuito que está contido no segundo quadrado tem uma resistência equivalente que é metade da resistência equivalente do circuito original. :)
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