Momento De inércia de um Fratal

Problemas de difícil resolução por métodos convencionais, mas que admitem uma solução simples e elegante.

Momento De inércia de um Fratal

Mensagempor duarte.magano em Sexta Mar 21, 2014 8:19 pm

Eu achei este problema tricky, mas digam a vossa opinião.

Considerem um triângulo equilátero de lado l.
Remove um triângulo com 1/4 da área inicial do meio da figura, e depois remove-se a cada um dos triângulos que sobram outro triângulo com 1/4 dessas áreas do meio deles, e assim até ao infinito, como mostra a figura.
Screen Shot 2014-03-21 at 7.53.06 PM.png
Screen Shot 2014-03-21 at 7.53.06 PM.png (11.2 KiB) Visualizado 1525 vezes

Seja a massa da figura final m.
Qual é o momento de inércia da figura final à volta do eixo perpendicular que passa no centro?
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Re: Momento De inércia de um Fratal

Mensagempor joaofrme em Segunda Mar 24, 2014 9:14 pm

Bem ainda não cheguei à solução, mas tenho algumas ideias que poderão ajudar. Aquilo tem uma simetria tripla, de maneira que existe uma massa igual de todos os lados. Mas a sua distribuição é que não consigo perceber porque é um fractal.
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Re: Momento De inércia de um Fratal

Mensagempor duarte.magano em Segunda Mar 24, 2014 9:34 pm

joaofrme Escreveu:Mas a sua distribuição é que não consigo perceber porque é um fractal.


É por ser um fractal que tem piada. :wink:
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Re: Momento De inércia de um Fratal

Mensagempor Tharis em Quarta Mar 26, 2014 11:55 pm

Esse problema já foi postado e resolvido aqui. Obviamente que não invalida que o tentem resolver.
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Re: Momento De inércia de um Fratal

Mensagempor duarte.magano em Quinta Mar 27, 2014 10:32 pm

Tharis Escreveu:Esse problema já foi postado e resolvido aqui. Obviamente que não invalida que o tentem resolver.


Ups… :oops:
Não tinha reparado, desculpem. Eu tinha-o resolvido sem ter conhecimento desse post e achei interessante pôr aqui o problema.

No entanto, continuam a se bem-vindos todos que o quiserem ainda resolver (sem consultar o outro post :mock: ). Pode ser até que se gere uma discussão interessante na mesma. :P
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Re: Momento De inércia de um Fratal

Mensagempor joaofrme em Segunda Mar 31, 2014 2:11 pm

Bem acho que descobri como se faz, esta é a minha resolução.
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Re: Momento De inércia de um Fratal

Mensagempor duarte.magano em Segunda Mar 31, 2014 4:59 pm

joaofrme Escreveu:Bem acho que descobri como se faz


Descobriste como se faz :D , mas enganaste-te nas contas…

joaofrme Escreveu:I_t_o_t_a_l=3(\frac{1}{12}I_t_o_t_a_l+m(\frac{\sqrt{3}}{6}l)^2)\Leftrightarrow I_t_o_t_a_l=\frac{1}{3}ml^2


Na verdade, tens que:

I_t=3(\dfrac{1}{12}I_t+m(\dfrac{\sqrt{3}}{6}l)^2) \Leftrightarrow \dfrac{3}{4}I_t=m(\dfrac{\sqrt{3}}{6}l)^2 \Leftrightarrow I_t_o_t_a_l=\frac{1}{9}ml^2


Foi um errozito de contas, sem importância nenhuma.
Definitivamente, a vitória é tua. Parabéns! :hands:
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Re: Momento De inércia de um Fratal

Mensagempor joaofrme em Segunda Mar 31, 2014 8:39 pm

Sim, eu enganei-me ao passar para o outro lado da equação. São sempre estes pequenos erros que escapam ao meu escrutínio. :wall:
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