Mecânica anti-newtoniana

Problemas de difícil resolução por métodos convencionais, mas que admitem uma solução simples e elegante.

Mecânica anti-newtoniana

Mensagempor jap em Domingo Fev 21, 2010 3:47 pm

No problema "Atracção fatal" foi estudado o movimento de duas partículas (protão/electrão, positrão/protrão) sujeitos às suas interacções mútuas (neste caso de atracção de uma partícula para a outra). De acordo com a 3ª lei de Newton, se o protrão atrai o electrão com uma força \vec F, então o electrão atrairá o protrão com uma força simétrica. De acordo com esta lei, é fácil ver que duas partículas ou se atraem ou se repelem, não é possível uma partícula A exercer uma força atractiva sobre B e B uma força repulsiva sobre A.

Mas, como seria o movimento das partículas num mundio "anti-newtoniano", isto é, num mundo onde a terceira lei de Newton fosse

Se A exerce uma força \vec F sobre B, então B exerce a mesma força \vec F (não -\vec F!) sobre A? :shock:

Querem pensar no assunto? :roll:
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Re: Mecânica anti-newtoniana

Mensagempor ampat em Domingo Fev 21, 2010 4:05 pm

Parece-me que só podiam estar paradas...

Por um lado, a partícula 1 situada na origem atraía a partícula 2, inicialmente em L, com uma força F com sentido de 2 para 1, ou seja, sentido negativo. Logo, a partícula 1 também sofria por parte da partícula 2 uma força idêntica. Assim, as duas partículas deslocavam-se no sentido negativo.

Mas, olhando de outra forma para a questão, a partícula 2 exerce sobre a partícula 1 uma força {F}' com sentido positivo. Portanto, a partícula 2 também sofre por parte da partícula 1 uma força com igual módulo e sentido que a força {F}'. E, assim, as duas partículas deslocam-se no sentido positivo.

Por isso, parece que chegámos a uma contradição, que tem apenas uma saída plausível: as partículas estão em repouso.


Não estou muito convencido relativamente a esta conclusão... :? Se calhar também podiamos argumentar que as duas forças F e {F}' exercidas em cada partícula se somavam e que, portanto, deslocavam-se em conjunto para o lado onde estava a partícula com maior massa...
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Re: Mecânica anti-newtoniana

Mensagempor jap em Domingo Fev 21, 2010 4:44 pm

Hum, haverá contradição se não definirmos à partida sobre qual das partículas se exerce a força atractiva e sobre qual se exerce a repulsiva. Mas vamos supor que esta especificação é feita, ou seja que há um "mecanismo" que determina o sentido da interação sobre cada partícula.

Vou dar um exemplo para ser mais claro.

Considera uma raposa que persegue um coelho. Imagina que o movimento de perseguição pode ser modelado pelas seguintes forças:

1) A raposa é atraída para o coelho com uma força que é inversamente proporcional ao quadrado da distância que os separa (imagina que quanto mais perto do coelho estiver a raposa o estímulo da boa refeição faz a raposa gerar uma força cada vez maior sobre as suas patas à medida que a distância da "refeição" diminui... :lol:
2) Sobre o coelho é exercida uma força repulsiva (que o afasta da raposa), também inversamente proporcional ao quadrado da distância que os une. Bem, a motivação do coelho também é inversa da da raposa, por isso quanto mais perto ela estiver, mais força o seu corpo irá produzir nas suas patinhas para tentar escapar...

Estás a ver o que se pretende? :roll:

É evidente que para corpos inanimados estas forças não são assim...Na realidade, neste exemplo, a força não resulta de uma interacção física entre a raposa e o coelho, tem uma origem diferente... :lol:

Anyway, conseguem modelar o movimento do coelho e da raposa para esta situação? Em que condições é que a raposa alcança o coelho?

As equações de partida serão:

m_r\vec a_r = C\frac{\vec r}{r^3}
m_f \vec a_f = C\frac{\vec r }{r^3}


sendo \vec r =\vec r_r - \vec r_f e onde C é uma constante que faremos igual a 1, para simplificar os cálculos. Vamos usar a notação r = rabbit e f = fox, caso contrário aparecem quantidades como \vec a_c que se podem confundir com aceleração centrípeta... :XD
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Re: Mecânica anti-newtoniana

Mensagempor ampat em Domingo Fev 21, 2010 6:01 pm

Ah, ok. Eu estava a pensar para o caso especifico de uma força como a gravítica, que depende de propriedades dos corpos como, por exemplo, a massa.


Resolvi da mesma forma que fiz no problema "Atracção Fatal".

Supondo a raposa inicialmente na origem e o coelho na posição L>0 relativamente à origem, isto é, x_{f}(0)=0 e x_{r}(0)=L, a relação entre as respectivas posições é

(x_{r}-L)m_{r}=m_{f}x_{f} \Leftrightarrow  x_{r}}=L+ \frac {m_{f}}{m_{r}}x_{f

Portanto, podemos agora estudar o movimento apenas para um dos animais. Escolhi a raposa para simplificar.

Sabemos, para cada posição da raposa, a força que nela actua:

F = \frac{1}{ (L+ (\frac{m_{f}-m_{r}}{m_{r}})x_{f})^2 } =  \frac{1}{ (L+ \eta x_{f})^2 }

Por outro lado, temos a relação trabalho-energia

W=\int_{a}^{b} F \mathrm{d}r = \Delta E_{c}


Assim, podemos formar o integral

W=\int_{0}^{x_{f}}  \frac {1}{ (L+ \eta x_{f})^2} dx_{f} = \frac{m_{f} v_{f}^2}{2} = \frac{ m_{f}}{2} (\frac{\mathrm{d}x_{f}}{\mathrm{d} t})^2

Resolvido este integral, ficamos com uma equação diferencial que relaciona \frac{\mathrm{d}x_{f}}{\mathrm{d} t} com x_{f}:

\frac {1}{L}  (\frac {x_{f} }{ L + \eta x_{f}}) = \frac{ m_{f}}{2} (\frac{\mathrm{d}x_{f}}{\mathrm{d} t})^2

Nota: Podemos ver que, caso m_{f} \neq  m_{r} a velocidade da raposa tende para um valor constante igual a lim \ v_{f} = \sqrt{ \frac{2}{\eta L m_{f}}}. No caso de m_{f}=m_{r} esta análise usando física clássica diz que a velocidade das duas espécies tenderá para infinito. :)

A partir daqui ainda dá para resolver, mas se quisermos saber a posição da raposa em cada instante acho que já não é possível. Podemos, no entanto, saber o tempo que a raposa demora até chegar a uma certa distância. A expressão a que cheguei é a seguinte:

\sqrt{   \frac{2}{m_{f}L \eta} } \ t = \sqrt{ x_{f}(\frac{  L}{\eta} + x_{f})} + \frac{  L}{\eta} \log ( \frac{ \sqrt{ \frac{L}{\eta} + x_{f}} + \sqrt{x_{f}}}{ \sqrt{ \frac{L}{\eta}}})



Ah, e se a perseguição for entre dois animais normais (massa do coelho <massa da raposa ), a raposa nunca apanha o coelho. :lol:

No caso improvável m_{r}=m_{f}, os animais seguem sempre separados de uma distância L, sendo a força constante e igual a F= \frac{1}{L^2}. Portanto, facilmente se obtém a função g=x(t).

Acho que, quando m_{f}<m_{r} a raposa também não apanha o coelho. Faz-me lembrar o paradoxo de Zenão, apesar de ser diferente.
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Re: Mecânica anti-newtoniana

Mensagempor jap em Quarta Fev 24, 2010 9:50 pm

Oh, desculpa,


Não tinha reparado que já tinhas respondido a esta pergunta! :oops:

Vou verificar pelos meus cálculos se chegamos ao mesmo resultado. Tenho é de encontrar a folha onde rabisquei as minhas contas... :evil:
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Re: Mecânica anti-newtoniana

Mensagempor tomegouveia em Sexta Jan 14, 2011 10:58 pm

Não sei se é para fazer alguma conta ou assim mas a única coisa que me ocorre é que os dois corpos não poderiam estar parados. Se A atrai B e B repele A, o que se passa é que B persegue A indefinidamente.
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Re: Mecânica anti-newtoniana

Mensagempor RicardoCampos em Sexta Jan 14, 2011 11:34 pm

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Re: Mecânica anti-newtoniana

Mensagempor tomegouveia em Sexta Jan 14, 2011 11:40 pm

ahahahah :lol: , boa! O exemplo perfeito! :XD
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Re: Mecânica anti-newtoniana

Mensagempor rigillescherrer em Sexta Jan 14, 2011 11:46 pm

lol Muito boa! :lol:
(só não percebi algumas palavras)
última vez editado por rigillescherrer s Sábado Jan 15, 2011 12:06 am, editado 1 vez no total
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Re: Mecânica anti-newtoniana

Mensagempor RicardoCampos em Sexta Jan 14, 2011 11:54 pm

Pareceu-me mais que natural.
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Re: Mecânica anti-newtoniana

Mensagempor jap em Sábado Jan 15, 2011 3:47 pm

Great! :hands:

Perfeito! :wink:
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Re: Mecânica anti-newtoniana

Mensagempor tomegouveia em Domingo Jan 23, 2011 11:17 am

Não deveria ser V.I.Q. em vez de V.I.P.? Tipo Very Important Quark em vez de Person? :lol: sugestão idiota, estou só a brincar
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Re: Mecânica anti-newtoniana

Mensagempor RicardoCampos em Segunda Jan 24, 2011 8:40 pm

tomegouveia Escreveu:Não deveria ser V.I.Q. em vez de V.I.P.? Tipo Very Important Quark em vez de Person? :lol: sugestão idiota, estou só a brincar


\me likes idea
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