Super-bola!

Problemas de difícil resolução por métodos convencionais, mas que admitem uma solução simples e elegante.

Mensagempor jap em Quarta Mar 21, 2007 8:07 pm

:hands:

É isso mesmo! Perfeito!

Ora expõe aqui os cálculos... :wink:
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Mensagempor pmp em Quarta Mar 21, 2007 8:43 pm

Já deixo aqui os cálculos, mas a resolução é muito semelhante à do exercício anterior. :lol:
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Mensagempor jap em Quarta Mar 21, 2007 8:54 pm

pmp Escreveu:Já deixo aqui os cálculos, mas a resolução é muito semelhante à do exercício anterior. :lol:


Basta apresentar os cálculos de forma sintéctica... :wink:
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Re:

Mensagempor zenunoteixeira em Sábado Fev 05, 2011 11:38 am

pmp Escreveu:v_{1f}=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_{1i} +\frac{2m_2}{m_1+m_2}v_{2i}

Bom dia, desculpem desde já a falta de jeito... mas parece que não consigo passar do sistema de conservação do momento linear e conservação de energia cinética para este resultado, será que alguem pode ver se isto está correcto:

{m_1}{v_1}+{m_2}{v_2}={m_1}{v_{1f}}+{m_2}{v_{2f}

e

\frac{1}{2}{m_1}{v_1^2}+\frac{1}{2}{m_2}{v_2^2}=\frac{1}{2}{m_1}{v_{1f}^2}+\frac{1}{2}{m_2}{v_{2f}^2


Isto sendo que v_1=\sqrt{2gh} e v_2=-\sqrt{2gh}, certo?
É que já gastei bastantes folhas a fazer este sistema e cada vez que faço dá-me uma coisa diferente -.-
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Re: Super-bola!

Mensagempor hexphreak em Sábado Fev 05, 2011 12:41 pm

As equações são um bocado chatas de resolver, mas tornam-se mais fáceis se mudares de referencial de forma a anular uma das velocidades iniciais. Por exemplo, se escreveres as equações no referencial da partícula 1 (caso geral), fica:

m_2 u_{2i} = m_1 u_{1f} + m_2 u_{2f}
m_2 u_{2i}^2 = m_1 u_{1f}^2 + m_2 u_{2f}^2

Uma vez encontradas as velocidades finais, é só converter de volta para o referencial do laboratório. Repara que na verdade basta-te encontrar uma das velocidades; a outra obtém-se simplesmente por simetria, trocando os índices :)
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Re: Super-bola!

Mensagempor tomegouveia em Sábado Fev 05, 2011 12:52 pm

Mas escolhendo um referencial ligado a uma das bolas, a velocidade dessa bola será sempre zero E para calcular a velocidade da outra serão necessários cálculos malucos.
O professor tinha-nos dito para provarmos que v1i+v2i=-(v1f+v2f) sendo cada uma das velocidades velocidades relativas. O problema está em chegar a esta expressão...
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Re: Super-bola!

Mensagempor hexphreak em Sábado Fev 05, 2011 12:58 pm

tomegouveia Escreveu:Mas escolhendo um referencial ligado a uma das bolas, a velocidade dessa bola será sempre zero E para calcular a velocidade da outra serão necessários cálculos malucos.

A ideia é precisamente ser zero, para simplificar os cálculos :P Para calcular a velocidade da outra, como eu disse, é só trocar os índices após converterem para o referencial do laboratório (i.e. somar de novo v_{1i}).
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Re: Super-bola!

Mensagempor zenunoteixeira em Sábado Fev 05, 2011 12:58 pm

Bem, obrigadão Hex, vou ver o que sai disso <.<
Vou tentar depois de almoço de barriga cheia e já ca posto se deu ou não XD
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Re: Super-bola!

Mensagempor zenunoteixeira em Sábado Fev 05, 2011 3:11 pm

Ok, nunca tinha trabalhado com isto de andar a mudar de referenciais para trás e para a frente :s
Portanto, fiz como me tinhas sugerido e associei o referencial à super-bola, as equações simplificaram nestas que tinhas fornecido:
hexphreak Escreveu:
m_2 u_{2i} = m_1 u_{1f} + m_2 u_{2f}
m_2 u_{2i}^2 = m_1 u_{1f}^2 + m_2 u_{2f}^2


Posto isto, resolve-se trivialmente em:

v_{2f}=\frac{m_2-m_1}{m_2+m_1}v_2
e
v_{1f}=\frac{2m_2}{m_1+m_2}v_2

Então e agora como é que se transfere isto de novo ao referencial de laboratório :s?
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Re: Super-bola!

Mensagempor hexphreak em Sábado Fev 05, 2011 3:50 pm

Aconselho-te apenas a teres algum cuidado com a notação; vamos utilizar u para as velocidades no referencial em repouso e v para as velocidades no referencial com velocidade v_{1i} (que só é o referencial da super-bola antes da colisão). Para passar de novo para o referencial do laboratório só tens que inverter a transformação que fizeste: como subtraíste u_{1i}, agora tens que o somar a todas as velocidades:

\displaystyle u_{2f} = v_{2f} + u_{1i} = {m_2 - m_1 \over m_1 + m_2} (u_{2i} - u_{1i}) + u_{1i} =\displaystyle {u_{2i} (m_2 - m_1) + 2 m_1 u_{1i} \over m_1 + m_2}

E idem para o u_{1f} :wink:
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Re: Super-bola!

Mensagempor josepedrocf em Sábado Fev 05, 2011 4:49 pm

Estão a tentar resolver o problema da bola pequena em cima da bola grande em que é necessário provar que h=9h_0?

É que esse é bem simples e vejo demasiadas complicações :hands:

Por falar em complicações, alguém já deduziu a expressão da amplitude num movimento oscilatório forçado que ficou para TPC? :D
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Re: Super-bola!

Mensagempor zenunoteixeira em Sábado Fev 05, 2011 5:08 pm

Hmmm, portanto, deve estar certo, vou por a resolução como spoiler só para o caso de algum quarkiano2011 ainda nao ter resolvido e nao querer estragar a surpresa xD


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Re: Super-bola!

Mensagempor josepedrocf em Sábado Fev 05, 2011 5:12 pm

zenunoteixeira Escreveu:Hmmm, portanto, deve estar certo, vou por a resolução como spoiler só para o caso de algum quarkiano2011 ainda nao ter resolvido e nao querer estragar a surpresa xD




Complicaste demais. Com coeficientes de restituição e considerando m_s << m_b chegava-se ao mesmo resultado.
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Re: Super-bola!

Mensagempor zenunoteixeira em Sábado Fev 05, 2011 5:13 pm

Sim, mas eu acho que não era o objectivo entrar com coeficientes de restituição, acho eu...
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Re: Super-bola!

Mensagempor rucazevedo em Sábado Fev 05, 2011 5:14 pm

Eu tb achei estranho estas complicações todas neste tópico :b Tentem ver se há uma forma fácil de chegar à solução antes de partir para os cálculos
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