Super-bola!

Problemas de difícil resolução por métodos convencionais, mas que admitem uma solução simples e elegante.

Mensagempor pmp em Domingo Mar 11, 2007 12:32 am

Considerei que a velocidade segundo y, o eixo vertical, mantém-se igual em módulo, porque a força normal à superfície por ter a direcção do raio da superbola não tem qualquer efeito sobre a rotação, e portanto nessa direcção tanto faz a bola ter movimento de rotação como não, a colisão ocorre da mesma forma.
Agora, na horizontal, considerei que devia haver uma força de atrito cinética cujo sentido é determinado pela direcção de rotação da bola, que vai contrariar este movimento e desencadear uma aceleração translacional, até a bola rolar sem deslizar.
Portanto, aplicando o impulso linear e o impulso angular, tal que:

F\Delta t=mv_x

e

-Fr\Delta t=I(\frac{v_x}{r}-\omega)
Dividi uma pela outra.
E isto vai dar v_x=\frac{2}{7}\omega r.

Mas esse problema é interessante, porque explica de certa forma o top spin cujo domínio distingue os grandes jogadores de ténis dos outros. Garanto que, quando apanhava um adversário que dominava esta técnica, era muito mais difícil vencê-lo. Para quem não sabe, o top spin, consiste em bater a bola de ténis mas ao mesmo tempo "escová-la" de modo a criar-lhe um movimento de rotação, e acontece que não só a bola baixa mais rapidamente, como quando bate no chão ganha velocidade, podendo surpreender o jogador. Já percebi o porquê deste último facto, o outro ainda não. :D
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Mensagempor jap em Domingo Mar 11, 2007 2:37 pm

Oops,

Esqueci-me que o Pedro é tenista e, portanto, especialista em "top spin" ! :lol:

As contas que fazes até funcionam razoavelmente para uma bola de ténis, é o modelo que os especialistas que tratam deste assunto (sim, há físicos que se divertem, actualmente, a estudar a física do ténis :shock: ) chamam de "slide and roll". Portanto, parabéns! :D

Mas, neste modelo, a energia da bola não é conservada no choque (ora verifica), e portanto não se aplica a uma superbola - o choque de uma superbola com o solo é perfeitamente elástico (bom, na realidade não é bem assim, mas...).

Estás a ver onde está o problema? É que, para que isto aconteça, há um aspecto do teu raciocínio acima que não é válido...Nomeadamente, a velocidade angular depois do choque e a velocidade linear do CM não estão relacionadas por \omega = v_x/r...Saem com uma velocidade angular bem maior do que isso, é o tal efeito escovinha ou grip effect! :lol:

Queres voltar a "atacar" o problema assumindo como ponto de partida qua há conservação da energia no choque? Podes considerar que a componente da velocidade na vertical é simplesmente invertida, tal como dizes, isto ainda é válido.

As super-bolas são mesmo fascinantes, não é?
:wink:
última vez editado por jap s Domingo Mar 11, 2007 5:47 pm, editado 1 vez no total
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Mensagempor pmp em Domingo Mar 11, 2007 5:31 pm

As superbolas são tão fascinantes quanto estranhas, como é que se conserva a energia com a confusão de forças que actuam no instante da colisão, nomeadamente a força de atrito que aqui tem um papel essencial e é sempre causadora de dissipação de energia? Mas, neste caso, já cheguei ao resultado certo, combinando as três equações seguintes :D :

Conservação da energia:

\frac{1}{2}I\omega_0^2=\frac{1}{2}mv_x^2 + \frac{1}{2}I\omega_1^2

Impulso linear:

F\Delta t=mv_x

Impulso angular:

-Fr\Delta t=I(\omega_1-\omega_0)

Era assim? :D
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Mensagempor jap em Domingo Mar 11, 2007 5:43 pm

Sim, é isso mesmo, queres fazer aqui um post com a dedução completa? Ttalvez desse jeito um desenhito com a indicação das forças que estão a actuar na colisão, para o pessoal perceber melhor o que se está a passar.

Repara que a presença de uma força de atrito não significa necessariamente que não haja conservação da energia! :) Uma força de atrito estática (isto é se o ponto de aplicação da força de atrito não se mover) não provoca dissipação de energia - e como a superbola "agarra" ao solo sem deslizar, a força de atrito não é dissipativa.

Um outro exemplo em que as forças de atrito causam momento (e portanto variação do momento angular de um corpo) e, contudo, não dissipam energia, é dado no problema do "Bola, rebola" nesta secção.

Repara ainda que como o material das super-bolas, para além de "agarrar" ao solo e prevenir o deslizamento e consequente dissipação de energia, também é muito elástico, estas bolas restituem quase toda a energia que armazenam na deformação que sofrem quando embatem no solo!

:wink:
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Mensagempor pmp em Domingo Mar 11, 2007 5:53 pm

Pois, é no bola, rebola já tinha visto isso, e a condição é que a bola esteja a rolar, sem deslizar, porque nesta situação o ponto de contacto da bola com o chão, está em repouso relativamente a este. :D Ou seja, posso dizer que a força de atrito estático converte energia cinética de rotação em energia cinética de translação apenas.

Eu já faço um post com a dedução e uns desenhitos. :D
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Mensagempor jap em Domingo Mar 11, 2007 6:05 pm

pmp Escreveu:(...) Ou seja, posso dizer que a força de atrito estático converte energia cinética de rotação em energia cinética de translação apenas.
(...)
:D


No caso deste problema da superbola, antes do choque temos energia cinética de rotação e depois do choque energia cinética de rotação e energia cinética de translação, como mostra a tua equação da conservação da energia escrita acima... :wink:
Os teus cálculos vão mostrar que a velocidade de rotação à saída não é igual av_x/r mas mais do que isso...é o resultado do tal grip effect:lol:
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Mensagempor jap em Quarta Mar 14, 2007 9:35 pm

Pedro,

Quando puderes, não te esqueças de colocar on-line a tua resolução! :D
É para poder avançar com mais uma questão sobre as fantásticas super-bolas! 8)
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Mensagempor pmp em Sexta Mar 16, 2007 1:51 am

Não me esqueci, amanhã de manhã deixo a solução! :D
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Mensagempor pmp em Sexta Mar 16, 2007 2:43 pm

Este é um problema semelhante aos anteriores estando a diferença no facto de a bola estar, neste caso, animada de movimento de rotação.

Imagem

Consideremos a direcção vertical. Durante a colisão, segundo essa direcção, actua uma força N que sendo paralela ao raio da bola não tem qualquer influencia sobre a rotação (torque=0, não há variação do momento angular), e assim, podemos tratar a colisão como já haviamos feito. Com efeito, como o choque é perfeitamente elástico, a bola depois da colisão tem uma velocidade vertical de mesmo valor, mas sentido contrário, à que tinha no momento antes da colisão. Assim, v_y=\sqrt{2gh}.

No que respeita à direcção horizontal, vamos ter uma força de atrito que se opõe à rotação da bola, intuitavamente temos essa sensação, que irá diminuir a velocidade angular, mas providencia à bola uma velocidade translacional. Traduzindo isto matematicamente através do impulso linear e o do impulso angular:

Impulso linear:

F\Delta t=mv_x

Impulso angular:

-Fr\Delta t=I(\omega_1-\omega_0)

Para além disso, existe conservação da energia:

\frac{1}{2}I\omega_0^2=\frac{1}{2}mv_x^2 + \frac{1}{2}I\omega_1^2

(A velocidade segundo y desaperece da conservação da energia, porque está presente em ambos os membros).

\omega_1 é a velocidade angular final e \omega_0 a velocidade angular inicial.

Resolvendo estas 3 equações obtemos v_x=\frac{4}{7}\omega_0 r.
Dividimos a segunda equação pela primeira e teremos \omega_1 em função de \omega_0 e v_x e substituimos na terceira.

Agora, pela observação da imagem:

Imagem

\theta=\arctan(\frac{v_x}{v_y})
\theta=\arctan(\frac{4}{7}\frac{\omega_0 r}{\sqrt{2gh}})
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Mensagempor jap em Sexta Mar 16, 2007 3:31 pm

Pedro,

Agradeço-te mais uma vez o trabalho de escreveres a tua resolução. Está excelente, eu não faria melhor :D .

Obrigado! :wink:

PS - Acho que todos concordarão que o pmp é um sério candidato à "via rápida" :shock: (http://www.rtp.pt/index.php?article=243344&visual=16&rss=0), isto se ele estiver interessado - já repararam bem na velocidade e na qualidade da resolução dos problemas do Pedro?
Vivam os açores! :D
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Mensagempor jap em Sábado Mar 17, 2007 12:12 am

Se seguiram a resolução do problema, compreenderão uma das características das superbolas: quando uma superbola rola no chão e bate numa parede, ela sofre sempre um ressalto - é semelhante ao problema que o pedro resolveu, mas "rodado de 90º" :D

Vejam aqui:

http://www2.eng.cam.ac.uk/~hemh/ballonwall2c.mpg
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Mensagempor jap em Sábado Mar 17, 2007 12:04 pm

Então aqui vai mais uma contribuição para a saga "superbolas"... :D

Lembram-se do estranho "truque" de lançar a superbola por baixo de uma mesa e ela voltar para as nossas mãos?


http://www2.eng.cam.ac.uk/~hemh/ballundertable2c.mpg


Vão ver que é fácil explicar este fenómeno :D . Para isso, comecemos por analisar a colisão de uma superbola com o solo. A superbola é lançada contra o solo com velocidade \vec v de componentes v_x e v_y e possui, inicialmente, uma velocidade angular \omega. Depois do ressalto no solo (não se esqueçam: a superbola não resvala e o choque é elástico) a bola sai com velocidade\vec v^\prime e velocidade angular \omega^\prime. A situção está representada esquematicamente na figura seguinte:

Imagem

Ora encontrem lá as expressões que dão v^\prime_x e \omega^\prime em função de v_x e \omega...
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Mensagempor Irakian Monkey em Terça Mar 20, 2007 9:15 pm

Está-me a dar v_x'=v_x e \omega '=\omega. Espero não estar redondamente enganado.
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Mensagempor jap em Terça Mar 20, 2007 9:18 pm

Irakian Monkey Escreveu:Está-me a dar v_x'=v_x e \omega '=\omega. Espero não estar redondamente enganado.


Essa solução (que, obviamente, satisfaz a conservação da energia! :D ) só seria possível se não actuasse uma força de atrito durante o impacto. Mas essa força de atrito existe, e ela vai fazer mudar, certamente, a velocidade de rotação \omega^\prime e também v^\prime_x :D
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Mensagempor pmp em Quarta Mar 21, 2007 12:26 am

Dificilmente não me terei enganado nas contas, mas com a esperança que não tenha acontecido ou que esteja a seguir um raciocínio errado deixo aqui os resultados :lol: .

v_x'=\frac{3}{7}v_x+\frac{4}{7}\omega r

\omega '=\frac{10}{7}\frac{v_x}{r}-\frac{3}{7}\omega

Talvez esteja certo porque v_x' verifica a solução do problema anterior em que v_x=0. :)
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