Super-bola!

Problemas de difícil resolução por métodos convencionais, mas que admitem uma solução simples e elegante.

Mensagempor jap em Domingo Mar 04, 2007 6:38 pm

pmp Escreveu:Obtive h'=9h+2R+r. :D



Sem dúvida, parabéns mais uma vez! :D

:hands:

Não queres colocar aqui a resolução? :wink:
PS - Não é giro que a bola salte tão alto? :P
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Mensagempor vbmaster em Domingo Mar 04, 2007 6:39 pm

Acho que não é suposto pressupores que o h0 é 2R...
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Mensagempor jap em Domingo Mar 04, 2007 6:42 pm

Bom, o Pedro mediu a altura em relação ao solo, referenciada ao centro da bola pequena! Em relação à posição em que a bola leva o piparote, subirá 9h, onde h é a posição do "fundo" da bola grande. :wink: Se preferirem referenciar a altura da bola pequena pelo seu "fundo", tal como se fez para a bola grande, então ela sobe até à altura 2R + 9h.
última vez editado por jap s Domingo Mar 04, 2007 6:48 pm, editado 1 vez no total
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Mensagempor pmp em Domingo Mar 04, 2007 6:48 pm

Não esperei que fosse tão alto, aliás fez-me rever os cálculos. :lol:

Mas o que fiz foi aplicar a conservação do momento linear e da energia cinética aos dois choques (com a expressão abaixo) e depois de calculada a velocidade com que a superbola ressalta na de basket, através da conservação da energia mecânica, calculei a altura máxima.

v_{1f}=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_{1i} +\frac{2m_2}{m_1+m_2}v_{2i}

Devo apresentar todos os cálculos ou não é necessário?
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Mensagempor jap em Domingo Mar 04, 2007 6:50 pm

Basta resumir os passos, de forma sintética! Dá as velocidades de cada bola antes e depois dos dois choques, o cálculo da altura a partir da velocidade transmitida à bola é trivial 8)

Obrigado!
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Mensagempor pmp em Domingo Mar 04, 2007 6:59 pm

Portanto, na colisão da bola de basket com o solo:

v_i=\sqrt{2gh} ev_f=-\sqrt{2gh}, considerei o sentido positivo para baixo.

Na colisão da bola de basket com a superbola:

Velocidade inicial da bola de basket:

V_i=-\sqrt{2gh}

Velocidade inicial da superbola:

v_i=\sqrt{2gh}

Velocidade final da superbola:

v_f=-3\sqrt{2gh}

Conservação da energia mecânica:

U_0 +T_0=U_f

mg(2R+r)+\frac{1}{2}m(9(2gh))=mgh'

h'=9h+2R+r

De nada, professor! :D
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Mensagempor jap em Domingo Mar 04, 2007 7:10 pm

Bom, e como o problema 1 das super-bolas foi resolvido num ápice pelo super-pedro :D , vou ter de deixar aqui o problema 2 da saga, ou seja, o problema das n-superbolas :shock:

É semelhante ao anterior. Considerem n bolas tais que a massa da maior (que está por baixo) é muito maior do que a que tem por cima que por sua vez é maior do que a que tem por cima, etc.
A figura abaixo ilustra a situação para 4 bolas.

Imagem

Por outro lado considerem que a distância do fundo da bola grande ao solo é h e que a distância do fundo da bola mais pequena ao fundo da bola grande é l.

Questão: Se h =\rm 1~m, quantas bolas serão necessárias para que a mais pequena suba a 1 km? (comecem por desprezar l , para o cálculo, e depois refinem a vossa resposta...)

E quantas bolas seria preciso empilhar para que a bola mais pequena saísse com velocidade tal que largasse para sempre a atracção gravitacional da terra ( ou seja, nunca mais cá voltasse...) :roll:

Giro este problema, não? E o resultado é, asseguro, muito surpreendente!
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Mensagempor pmp em Domingo Mar 04, 2007 9:36 pm

5 bolinhas já eram suficientes para alcançar uma altura extramamente próxima de 1 km? :D
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Mensagempor jap em Domingo Mar 04, 2007 9:47 pm

pmp Escreveu:5 bolinhas já eram suficientes para alcançar uma altura extramamente próxima de 1 km? :D


:hands:
Sim, extremamente próxima: 961 m, mais exactamente, isto desprezando a distância l. Assim sendo, eu apostava mais em 6 bolas, estás de acordo? :wink:

E para lançarmos a nossa pequena super-bola para o espaço? :roll:
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Mensagempor pmp em Domingo Mar 04, 2007 10:43 pm

Sim, são 6 bolas.

E para mandar a mais pequena para mais além, umas 12 bolinhas? :lol: Tão poucas?! :D
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Mensagempor jap em Domingo Mar 04, 2007 10:49 pm

pmp Escreveu:Sim, são 6 bolas.

E para mandar a mais pequena para mais além, umas 12 bolinhas? :lol: Tão poucas?! :D



Isso mesmo! :D Incrível, né?

E até já está a venda o lançador de super-bolas espacial (nos US custa apenas 5,99$) :shock:

Imagem
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Mensagempor pmp em Domingo Mar 04, 2007 10:54 pm

É incrível, fiquei com vontade de comprar. Quando for aos states, não volto sem isso. :lol:
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Mensagempor jap em Domingo Mar 04, 2007 10:59 pm

pmp Escreveu:É incrível, fiquei com vontade de comprar. Quando for aos states, não volto sem isso. :lol:


Bom, então compra dois (eu também gostava de ter um! :P ).

É claro que as bolas não chegam a atingir sequer a estratosfera, por várias razões que nós podemos aqui discutiir. Mas ainda assim a velocidade que a última bola atinge neste brinquedo é impressionante... :D

Uma primeira razão (mas não a única) tem a ver com o facto de as colisões (para super-bolas reais!) não serem perfeitamente elásticas; ora vamos lá a encontrar a expressão que nos dá a altura máxima H (em unidades de h) em função no número de bolas (n) e do coeficiente de restituição e dos choques (assumimos que o coeficiente de restituição do choque entre as bolas e a bola de baixo e o solo é o mesmo).
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Mensagempor jap em Domingo Mar 04, 2007 11:10 pm

Encontrei na net este vídeo de um professor a tentar demonstrar aos seus alunos o princípio de funcionamento do astroblaster, com uma super-bola e uma bola de basket. Ele não tem lá muito jeito e o "tiro" sai torto, mas vejam a velocidade a que sai disparada a super-bola :shock:

http://algol.fis.uc.pt/movies/basketball_and_tennis_ball.mpeg
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Mensagempor fnbrandao em Segunda Mar 05, 2007 8:44 am

pmp Escreveu:É incrível, fiquei com vontade de comprar. Quando for aos states, não volto sem isso. :lol:


Para quê ir aos states quando nem precisamos de nos levantar para ir ao ebay? :lol:
http://cgi.ebay.com/AstroBlaster-Multip ... dZViewItem

Cumprimentos,
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