Cordas...

Problemas de difícil resolução por métodos convencionais, mas que admitem uma solução simples e elegante.

Mensagempor Zé Teixeira em Quinta Fev 08, 2007 12:11 am

Também obtive v_{final} = \sqrt{Lg}, por conservação de energia. Não encontro erro no raciocínio :?
Avatar do utilizador
Zé Teixeira
down-Quark!
down-Quark!
 
Mensagens: 290
Registado: Sábado Nov 18, 2006 9:33 pm
Localização: Lisboa (IST)

Mensagempor jap em Quinta Fev 08, 2007 12:13 am

jmgb Escreveu:Por conservação de energia, cheguei a que K_{final}=\frac{1}{2}MgL^2, em que g é a aceleração da gravidade, M a massa da corda, L o seu comprimento (total) e K a energia cinética.

Portanto, v_{final}=\frac{\sqrt{6gL^2}}{3}.



Abraço.



João,

A resposta ainda não está certa, enganaste-te algures na aplicação da conservação da energia. :?

A resposta correcta é a do João Barros,


v_f = \sqrt{LG}

Peço desculpa ao João Barros :oops: de ter dito que a resposta dele não estava correcta, mas estava a seguir o desenvolvimento do João Gama ao aplicar o F = ma à corda e pensei que o João Barros estivesse apenas a corrigir a questão das dimensões ao aplicar a raíz quadrada a L G- > \sqrt{LG}. Não foi o caso!

Em resumo:

a resposta correcta é

v_f = \sqrt{LG}

Basta apenas encontrar uma justificação correcta (ou até duas ou três distintas, o que seria giro!)

João Barros, escreve aqui o teu raciocínio, por favor! :wink:
última vez editado por jap s Quinta Fev 08, 2007 12:35 am, editado 1 vez no total
José António Paixão
Departamento de Física da FCTUC
Avatar do utilizador
jap
Site Admin
Site Admin
 
Mensagens: 6800
Registado: Quinta Nov 09, 2006 9:34 pm
Localização: Univ. de Coimbra

Mensagempor jmgb em Quinta Fev 08, 2007 12:15 am

Bolas, é conservação de energia elementar. Inventei e compliquei. Usei a expressão do trabalho e deu um erro aqui num integral. Mas já corrigi o problema nas contas. Já me deu o resultado certo.

Estou desinspirado :(
João Gama
(IPhO 2006 - Singapura)
Avatar do utilizador
jmgb
down-Quark!
down-Quark!
 
Mensagens: 267
Registado: Sexta Nov 10, 2006 1:10 am
Localização: Lisboa (IST) Braga (Casa)

Mensagempor jap em Quinta Fev 08, 2007 12:17 am

Agora quem me resolve isto aplicando apenas a lei fundamental da dinâmica
:?:

Esta é, de certa forma, subtil!
José António Paixão
Departamento de Física da FCTUC
Avatar do utilizador
jap
Site Admin
Site Admin
 
Mensagens: 6800
Registado: Quinta Nov 09, 2006 9:34 pm
Localização: Univ. de Coimbra

Mensagempor Zé Teixeira em Quinta Fev 08, 2007 12:26 am

Fiz por conservação de energia.

No instante inicial, a altura da corda é h e a sua velocidade é nula, logo a energia é E_i = mgh. No fim, a energia é E_f = mgh' + \frac{1}{2}mv^2.

Notando que é h' = h - \frac{L}{2}, e aplicando conservação de energia, fica:

E_i = E_f

mgh = mgh' + \frac{1}{2}mv^2

gh = g(h - \frac{L}{2}) + \frac{1}{2}v^2

gh = gh - g\frac{L}{2} + \frac{1}{2}v^2

\frac{1}{2}v^2 = g\frac{L}{2}

v = \sqrt{Lg}
última vez editado por Zé Teixeira s Quinta Fev 08, 2007 12:35 am, editado 1 vez no total
Avatar do utilizador
Zé Teixeira
down-Quark!
down-Quark!
 
Mensagens: 290
Registado: Sábado Nov 18, 2006 9:33 pm
Localização: Lisboa (IST)

Mensagempor jap em Quinta Fev 08, 2007 12:33 am

Certo, mas é deixa-me salientar que a energia potencial da corda é mgh se h for a posição do centro de massa da corda - que depois da corda sair da mesa só desce L/2 ... e nãoL! Este é o ponto subtil... :lol:
última vez editado por jap s Quinta Fev 08, 2007 12:37 am, editado 1 vez no total
José António Paixão
Departamento de Física da FCTUC
Avatar do utilizador
jap
Site Admin
Site Admin
 
Mensagens: 6800
Registado: Quinta Nov 09, 2006 9:34 pm
Localização: Univ. de Coimbra

Mensagempor Zé Teixeira em Quinta Fev 08, 2007 12:37 am

Exacto, foi o raciocínio que usei. Daí h' = h - \frac{L}{2}.
Avatar do utilizador
Zé Teixeira
down-Quark!
down-Quark!
 
Mensagens: 290
Registado: Sábado Nov 18, 2006 9:33 pm
Localização: Lisboa (IST)

Mensagempor jap em Quinta Fev 08, 2007 12:40 am

Bom, e o raciocínio do João Gama está certo :D até

a =  \frac{d^2x}{dt^2}= \frac{g}{L}x


e ele só se "atrapalhou" a resolver esta equação diferencial. :(


Mas a solução é muito fácil de encontrar! Fica aqui o desafio. :wink:

Depois de obter x(t), é trivial obter v(t) e confirmar (de forma independente) que

v_f = \sqrt{Lg} !

Nota importante: na equação diferencial do João Gama, acima, x é a posição da extremidade solta da corda, não do seu centro de massa!

Nota 2: há uma surpresa *muito* gira guardada para quem resolver a equação diferencial! :D :D :D
José António Paixão
Departamento de Física da FCTUC
Avatar do utilizador
jap
Site Admin
Site Admin
 
Mensagens: 6800
Registado: Quinta Nov 09, 2006 9:34 pm
Localização: Univ. de Coimbra

Mensagempor jap em Quinta Fev 08, 2007 1:00 am

"Prémio especial" para quem me mostrar que


v_f = \sqrt{Lg}, sim senhor, diz o princípio da conservação da energia, o João Barros, o João Gama, o Zé Teixeira..., mas só será mesmo assim no dia de São Nunca! :shock:

Ah! Ah!:P
Não digo mais :P . Decifrem a frase acima! :twisted:
última vez editado por jap s Quinta Fev 08, 2007 1:18 am, editado 1 vez no total
José António Paixão
Departamento de Física da FCTUC
Avatar do utilizador
jap
Site Admin
Site Admin
 
Mensagens: 6800
Registado: Quinta Nov 09, 2006 9:34 pm
Localização: Univ. de Coimbra

Mensagempor Zé Teixeira em Quinta Fev 08, 2007 1:05 am

Pegando na equação diferencial:

\frac{d^2x}{dt^2} = \frac{g}{L}x

\frac{d^2x}{dt^2} - \frac{g}{L}x = 0

Esta equação tem por solução uma exponencial da forma e^{kt}. Para achar k, substituamos na equação diferencial:

\frac{d^2(e^kt)}{dt^2} - \frac{g}{L}e^{kt} = 0

k^2e^{kt} - \frac{g}{L}e^{kt} = 0

Como a exponencial nunca se anula, podemos dividir tudo por e^{kt}:

k^2 - \frac{g}{L} = 0

k = \sqrt{\frac{g}{L}}

É, portanto, x(t) = e^{\sqrt{\frac{g}{L}}t}.

Parece-me uma equação estranha, se calhar cometi algum erro :?
Avatar do utilizador
Zé Teixeira
down-Quark!
down-Quark!
 
Mensagens: 290
Registado: Sábado Nov 18, 2006 9:33 pm
Localização: Lisboa (IST)

Mensagempor jap em Quinta Fev 08, 2007 1:12 am

Não te esqueças que a equação é do segundo grau, logo admite duas soluções linearmente independentes (exponencial positiva e negativa):

Ae^{\sqrt{g/L}t


e

Be^{-\sqrt{g/L}t}


Logo a solução geral é da forma

x(t) = Ae^{\sqrt{g/L}t} + Be^{-\sqrt{g/L}t}

Agora é aplicar as condições iniciais para determinar as constantes A e B!
última vez editado por jap s Quinta Fev 08, 2007 3:07 am, editado 1 vez no total
José António Paixão
Departamento de Física da FCTUC
Avatar do utilizador
jap
Site Admin
Site Admin
 
Mensagens: 6800
Registado: Quinta Nov 09, 2006 9:34 pm
Localização: Univ. de Coimbra

Mensagempor Zé Teixeira em Quinta Fev 08, 2007 1:38 am

Oops, esqueci-me disso :oops:

Mas agora tenho outro problema. Aplicando as condições iniciais (x = 0 e v = 0), fico com A = B = 0. Até faz algum sentido, visto que, se no início é x = 0, é também a = 0, e sendo ainda v = 0, a corda nunca se vai mover. Mas claro que na verdade a posição inicial da ponta da corda não é exactamente zero, só muito pequena... não sei como resolver isto :(
Avatar do utilizador
Zé Teixeira
down-Quark!
down-Quark!
 
Mensagens: 290
Registado: Sábado Nov 18, 2006 9:33 pm
Localização: Lisboa (IST)

Mensagempor jap em Quinta Fev 08, 2007 1:45 am

Zé Teixeira Escreveu:Oops, esqueci-me disso :oops:

Mas agora tenho outro problema. Aplicando as condições iniciais (x = 0 e v = 0), fico com A = B = 0. Até faz algum sentido, visto que, se no início é x = 0, é também a = 0, e sendo ainda v = 0, a corda nunca se vai mover. Mas claro que na verdade a posição inicial da ponta da corda não é exactamente zero, só muito pequena... não sei como resolver isto :(


Já encontraste a supresa que estava prometida!

Parax(t=0)=0, v(t=0)=0, a corda não se move - mas esta foi a hipótese que vocês usaram quando aplicaram o princípio da conservação da energia, não foi? :P

Bom, mas faz então x(t=0) = \epsilon, onde \epsiloné um bocadito só de corda que puxámos para fora da mesa, e mantém v(t=0)=0. Agora já poderás resolver cabalmente o problema. Mas só que se\epsilon for mesmo muito pequeniiiiiino, então o tempo de queda vem infinito- verifica lá!

De qualquer forma chegarás à conclusão, fazendo as contas, que no limite em que \epsilontende para 0, v_f = \sqrt{Lg}, mas só lá chega no dia de São Nunca!
José António Paixão
Departamento de Física da FCTUC
Avatar do utilizador
jap
Site Admin
Site Admin
 
Mensagens: 6800
Registado: Quinta Nov 09, 2006 9:34 pm
Localização: Univ. de Coimbra

Mensagempor Zé Teixeira em Quinta Fev 08, 2007 2:15 am

Se x(0) = \epsilon e v(0) = 0, fica A = B = \frac{\epsilon}{2}.

Então, sabendo que x(t_f) = L, temos (vou pôr k = \sqrt{\frac{g}{L}} (não confundir este k com o do meu post anterior) para ser mais fácil de escrever):

L = \frac{\epsilon}{2}(e^{kt_f} + e^{-kt_f})

\frac{2L}{\epsilon} = e^{kt_f} + e^{-kt_f}

ln(\frac{2L}{\epsilon}) = ln(e^{kt_f} + e^{-kt_f})

E agora não sei como me livrar do logaritmo no segundo membro... este problema tem-me dado água pela barba em todos os passos :P
Avatar do utilizador
Zé Teixeira
down-Quark!
down-Quark!
 
Mensagens: 290
Registado: Sábado Nov 18, 2006 9:33 pm
Localização: Lisboa (IST)

Mensagempor jap em Quinta Fev 08, 2007 2:30 am

Então definamos as funções

\cosh(kt) = \frac{e^{kt}+e^{-kt}}{2}
\sinh(kt) = \frac{e^{kt}-e^{-kt}}{2}

(estas funções têm o nome de coseno hiperbólico e seno hiperbólico, para quem não as conhece...)

A solução pode escrever-se, nesta notação,

x(t) = \epsilon \cosh{kt}

e

v(t) = k \epsilon\sinh{kt}.

Ora como \epsiloné muito pequeno, por hipótese, a equação


L = \epsilon\cosh{kt} só tem solução para t muito grande, como podes verificar. Mas nessa situação,

\cosh(k) = \frac{e^{kt}+e^{-kt}}{2} \sim \frac{e^{kt}}{2},

\sinh(k) = \frac{e^{kt}e^{-kt}}{2} \sim \frac{e^{kt}}{2},

e então


L = x(t_f) \sim \epsilon \frac{e^{kt_f}}{2},

e

v_f \sim k \epsilon \frac{e^{kt_f}}{2}  \sim k L =  \sqrt{\frac{g}{L}}L = \sqrt{gL} q.e.d.

REpara que a expressão da velocidade final tende assimptoticamente para \sqrt{gL} quando \epsilontende para zero, mas o tempo de queda também aumenta para infinito.

Portanto \sqrt{gL} só é uma (boa) aproximação para a velocidade final quando desprezamos a energia potencial do pedacito de corda que inicialmente está de fora da mesa...


Um exemplo concreto.

Corda de 1m de comprimento, em que inicialmente 10 cm da corda estão de fora da mesa...


Quanto tempo demora a cair a corda?

1,0 = 0,10 \cosh(\sqrt{9,8}t)

de onde, resolvendo em ordem a t, obtemos

t = 0,956 s.


A velocidade final da corda é

v_f = \sqrt{9,8}\sinh(\sqrt{9,8}\times 0,956)} = 3,11\rm ~m/s.


Usando a expressão aproximada
v_f = \sqrt{gL} obtemos 3,13\rm~ m/s, o que não é mau.

Mas se puserem só 1 cm da corda de fora, verão que a velocidade final é muito mais próxima de 3,13 m/s mas o tempo de queda aumenta drasticamente - deixo como exercício!
última vez editado por jap s Quinta Fev 08, 2007 3:07 am, editado 2 vezes no total
José António Paixão
Departamento de Física da FCTUC
Avatar do utilizador
jap
Site Admin
Site Admin
 
Mensagens: 6800
Registado: Quinta Nov 09, 2006 9:34 pm
Localização: Univ. de Coimbra

AnteriorPróximo

Voltar para Problemas tricky

Quem está ligado

Utilizadores a navegar neste fórum: Nenhum utilizador registado e 2 visitantes

cron