Placa aquecida

Problemas de difícil resolução por métodos convencionais, mas que admitem uma solução simples e elegante.

Placa aquecida

Mensagempor Bruno Oliveira em Segunda Set 28, 2009 6:45 pm

Este problema, que vem de uma das minhas aulas de Álgebra, tem um pouco de Física e um método de resolução bastante interessante. :)

Imaginem um referencial ortogonal e ortonormado xOy, onde se vai colocar uma placa quadrada (feita de um material condutor de calor homogéneo) com uma pequena espessura, onde o vértice A coincide com a origem do referencial. Para visualizarem melhor a situação, o lado AB está situado sobre o eixo dos xx e o lado AC está sobre o eixo dos yy.

A placa é mantida com os bordos AC e BD a uma temperatura de 30ºC; o bordo AB está a 40ºC e o bordo CD está a 10ºC.

A questão é: Qual é a temperatura aproximada, na situação de equilibrio térmico, nos pontos de intersecção das rectas horizontais e verticais que correspondem a dividir os lados do quadrado em 3 partes iguais?

[ Sugestão: Relembrem-se que, a equação que rege o fluxo do calor numa placa no plano xy é a equação do calor a 2 dimensões:

{\partial T \over \partial t}=c \cdot \, \left( {\partial^2 T \over {\partial x}^2} + {\partial^2 T \over {\partial y}^2}\right)

Em que, T é a temperatura no ponto (x,y) no instante t, e c>0 é uma constante característica do material.

Podem, e devem, discretizar a equação acima á custa de considerarem uma malha de pontos equidistantes na placa e aproximar as derivadas pelo método das diferenças finitas entre os valores de T calculados nos pontos da malha.]
e^{ix}=cos x + i\,sin x
Avatar do utilizador
Bruno Oliveira
top-Quark!
top-Quark!
 
Mensagens: 1553
Registado: Quarta Nov 14, 2007 10:19 pm
Localização: Lisboa

Re: Placa aquecida

Mensagempor jap em Segunda Set 28, 2009 7:44 pm

Bruno,

Acho que esse problema já aqui foi resolvido...o método em causa é o chamado método da relaxação. Ou como quem diz, procurem a distribuição de temperaturas tal que a temperatura aqui seja a média das temperaturas à minha volta! :lol:. Houve até quem fizesse um programa para implementar esse algoritmo... :roll:

PS: Deste isso em álgebra linear? :shock: Talvez tenha sido dado como exemplo de introdução à utilidade da álgebra em engenharia - e ainda assim, as técnicas de álgebra linear comuns aplicadas a este problema (que se pode resumir, após discretização, à resolução de um sistema de equações lineares acopladas) não costumam ser as mais eficientes! :lol:
Ora experimenta inverter a matriz correspondente a uma discretização fina (digamos uma malha de 10 000 x 10 000) do espaço! :P
José António Paixão
Departamento de Física da FCTUC
Avatar do utilizador
jap
Site Admin
Site Admin
 
Mensagens: 6799
Registado: Quinta Nov 09, 2006 9:34 pm
Localização: Univ. de Coimbra

Re: Placa aquecida

Mensagempor Bruno Oliveira em Segunda Set 28, 2009 8:33 pm

Sim, realmente se se aplicar uma discretização fina é quase impossível fazer o tratamento analítico deste problema! :P

Aliás, basta decidir dividir cada lado do quadrado em quatro partes em vez de apenas três, e, por uma questão de "área" passamos de um sistema de 4 equações para 9! O que é um bocado complicado de tratar analiticamente :evil:

Dá até um trabalho considerável montar a matriz para a inverter no MATLAB :roll: .

Mas, acho que a ideia por detrás deste problema é a de mostrar a utilidade da Álgebra em situações de Engenharia, e achei bastante giro postar aqui por causa disso. :wink:

PS: O livro que o IST adoptou para a cadeira de Álgebra Linear, chama-se "Álgebra Linear como Introdução á Matemática Aplicada" e foi escrito por Luís T. Magalhães, um Engº Electrotécnico! :lol:
e^{ix}=cos x + i\,sin x
Avatar do utilizador
Bruno Oliveira
top-Quark!
top-Quark!
 
Mensagens: 1553
Registado: Quarta Nov 14, 2007 10:19 pm
Localização: Lisboa

Re: Placa aquecida

Mensagempor jap em Segunda Set 28, 2009 8:46 pm

Bruno Oliveira Escreveu:(...)
PS: O livro que o IST adoptou para a cadeira de Álgebra Linear, chama-se "Álgebra Linear como Introdução á Matemática Aplicada" e foi escrito por Luís T. Magalhães, um Engº Electrotécnico! :lol:


"Álgebra Linear como Introdução à Matemática Aplicada"? Que raio de título! :lol:

"Álgebra linear" ou "Introdução à Álgebra Linear" já não é suficiente? :roll:

Esta mania de adjectivar tudo com "aplicado"! :XD Just kidding...


PS: O tópico sobre o método da relaxação que pode ser aplicado à resolução do problema que o Bruno qui colocou está nesta thread:

http://algol.fis.uc.pt/quark/viewtopic.php?f=35&t=315
José António Paixão
Departamento de Física da FCTUC
Avatar do utilizador
jap
Site Admin
Site Admin
 
Mensagens: 6799
Registado: Quinta Nov 09, 2006 9:34 pm
Localização: Univ. de Coimbra

Re: Placa aquecida

Mensagempor Bruno Oliveira em Segunda Set 28, 2009 10:22 pm

Isto os Engenheiros não fazem a coisa por menos! :lol:

Eu já tinha desenhado a malha sobre a placa aqui no papel, como é só dividir os lados da placa em 3 partes iguais, é bastante pacífico de fazer por via analítica e acho que é sem dúvida um bom problema para ilustrar a aplicação do Método das Diferenças Finitas a uma situação passível de se verificar em Engenharia.

Quando tiver tempo, who knows when... :roll: , posso tratar de fazer a malha para discretizar a equação no AutoCAD, com os pontos pedidos indicados e colocava aqui uma resolução detalhada deste problema, que como bónus podia incluir ainda uma breve explicação do Método usado, que é parecido com o método da relaxação. :wink:
e^{ix}=cos x + i\,sin x
Avatar do utilizador
Bruno Oliveira
top-Quark!
top-Quark!
 
Mensagens: 1553
Registado: Quarta Nov 14, 2007 10:19 pm
Localização: Lisboa


Voltar para Problemas tricky

Quem está ligado

Utilizadores a navegar neste fórum: Nenhum utilizador registado e 2 visitantes

cron