Curvatura do espaço-tempo e a deflexão de luz

Problemas de difícil resolução por métodos convencionais, mas que admitem uma solução simples e elegante.

Curvatura do espaço-tempo e a deflexão de luz

Mensagempor Real em Terça Dez 12, 2006 9:27 pm

Um pouco de História

Como devem saber, Einstein publicou em 1905 um artigo histórico onde expõe a teoria da Relatividade Restrita, resolvendo o problema levantado pelas experiências de Michelson e Morley. Esta teoria, como o próprio nome indica, está restringida aos referenciais com velocidade constante. Só após 10 anos de trabalho é que Einstein publica a teoria da Relatividade Geral, generalizando os seus resultados a referenciais acelerados, nomeadamente aos referenciais sob a influência do campo gravítico.
Desta forma, Einstein introduz uma verdadeira revolução no domínio da mecânica! (espantosamente, o electromagnetismo de Maxwell já estava imbuído da relatividade de Einstein!!!). Contudo, a sua teoria radical só começou a ser aceite quando foi feita a primeira verificação experimental em 1919 pelo Sir Eddington.

Curvatura do espaço-tempo

Muito resumidamente, o que Einstein afirma na sua teoria é que a presença de um corpo com massa altera as propriedades do meio envolvente. Ele descobriu que esse meio envolvente é o espaço e tempo unidos num só: o tecido do Universo. (eu sei que isto está bastante poético, mas é a reprodução fiel das suas equações :D ). Na verdade, Einstein descreve a gravidade como um encurvamento do espaço-tempo:

Imagem

Para uma (muito) melhor ilustração do que é realmente a teoria da Relatividade Geral, vejam o documentário do Brian Green:

http://www.pbs.org/wgbh/nova/elegant/program.html

Nomeadamente: "Newton's embarrassing secret" e "A new picture of gravity". É simplesmente lindo! :D

Bem, apesar de toda esta beleza conceptual (e estética) o tratamento matemático das equações de campo de Einstein não é nada fácil! Contudo, a primeira solução exacta (das poucas) é da autoria de Schwarzschild (1916). Ele resolve as equações para um campo gravítico estático (não varia no tempo) e com simetria esférica. Por exemplo: o campo gravítico do nosso Sol!

Deflexão da luz

Após esta conversa toda (que espero que tenha sido interessante :wink:) vamos ao problema! Como devem ter visto no documentário do Brian Green, quando a luz vinda de um lugar distante passa perto do campo gravítico do Sol, ela é obrigada a curvar, devido à geometria do espaço-tempo "gravítico" provocado pela nossa estrela!
Ora, vamos tentar a partir das equações de Schwarzschild determinar o ângulo de deflexão do raio luminoso!

Se tivermos um corpo de massa M e raio R na origem do nosso referencial, a trajectória de um raio de luz é dada por:

\frac{d^2u}{d\phi^2}+u=\frac{3MG}{c^2}u^2

Em que u=1/r (r é a norma do vector posição que aponta para cada ponto da trajectória da luz). O ângulo está representado na figura seguinte:

Imagem

Desculpem o desenho, mas foi o melhor que consegui :roll:.
A trajectória está representada a vermelho e é suposta ser uma "espécie" de hipérbole (seria uma hipérbole no caso Newtoniano).

a) Determinar a solução da equação, sabendo que ela é do tipo:

u = a cos\phi + b cos^2\phi +c

(Nota: é razoável considerar que u^2 \approx (a cos\phi)^2. Porquê?)

b) Calcular o ângulo de desvio da trajectória do raio luminoso.

c) Usando os valores da massa e do raio do Sol, obter o valor numérico do ângulo de deflexão.

d) Comparar o valor numérico obtido na alínea anterior com os obtidos pelo Sir Eddington: 1.98 ± 0.16 e 1.61 ± 0.40 segundos de arco.
Estes valores foram obtidos numa expedição em 1919 à ilha de Príncipe, por comparação de fotografias de uma estrela na ausência e na presença do Sol (estas últimas foram obtidas durante um eclipse solar total). Eddington limitou-se a medir o deslocamento aparente dessa estrela nas chapas fotográficas.

Imagem

e) Einstein estava certo?

A única pergunta tricky é mesmo esta última, porque as outras são até simples :wink: (e, claro, um pouco de malabarismo com as equações). Este tópico pode parecer aberrante, mas é frequente aparecer nas IPhO questões deste género: formulação "complicada", mas resolução simples! Em Salamanca, apanhei um problema sobre o efeito de Hall quântico, em que aplicávamos as equações para o lançamento de projécteis! :?
Não foi fácil escrever isto :wink:, por isso podem aparecer erros ortográficos e, pior, incorrecções! Por isso, se detectarem algum problema por favor falem comigo! Se precisarem de mais esclarecimentos ou dicas, façam o mesmo :wink:
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Re: Curvatura do espaço-tempo e a deflexão de luz

Mensagempor jap em Quarta Dez 13, 2006 2:03 am

Real Escreveu:Um pouco de História

(...)
Após esta conversa toda (que espero que tenha sido interessante :wink:) (...)
(...)
mas é frequente aparecer nas IPhO questões deste género: formulação "complicada", mas resolução simples!
(...)
:wink:


Realmente este começa a parecer-se com um problema IPhO - bom, se saísse na IPhO algo do género teria ainda, de certeza, mais umas dezenas de linhas (pelo menos) de "palavreado" muito interessante mas distracting. :P

Aliás, uma das dificuldades maiores das provas da IPhO é como sobreviver, ou melhor não entrar em pânico, com a profusão dos enunciados. Para que conste, o recorde foi um enunciado de 13 páginas :shock: de um problema de uma prova experimental :twisted: (incluía instruções para manipular alguns aparelhos, mas mesmo assim...)
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Mensagempor joaoramos em Segunda Fev 12, 2007 6:31 pm

a, b e c numeros reais?
(constantes, derivada nula?)
importante para resolver a diferencial.

c de
Imagem
(velocidade da luz no vazio?)

diferente de c de
Imagem

?


e o desenvolvimento é feito em coordenadas polares claro. (?)
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Mensagempor Real em Segunda Fev 12, 2007 8:00 pm

Ups! :oops: De facto os dois c's são diferentes ... :?

Enquanto que na equação diferencial o c é a velocidade da luz, na solução proposta a,b,c são constantes reais. Eu faria:

k=\frac{3MG}{c^2}.

Assim fica mais simples :wink:

Não há grande desenvolvimento a fazer :) Basta substituir e aplicar as condições fronteira (u=0, u->inf).
A parte difícil é manejar a matemática e intuir quais as aproximações relevantes :wink:
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