Quark!

Enviado: **Sexta Mar 07, 2008 10:02 pm**

Este é trivia conceptualmente, mas tive que fazer três integrais por isso quem quiser ajuda, poste aqui ou então peça-me no Messenger

Aqui vai:

Por alguma estranha razão (afinal são quarkianos...), decidem atirar bolas de ténis a um carro de massa

, que se move sem atrito no chão horizontal. Atiram então as bolas à mala aberta do carro com velocidade

, a uma taxa de massa de $\sigma\mbox{ kg\,s^{-1}}$ (assumimos uma taxa contínua por questão de simplicidade, mas depois podemos estudar o caso discreto).

Se o carro partir do repouso, encontra a sua velocidade e posição como função do tempo, assumindo claro que todas as bolas ficam dentro da mala :wink:

Enviado: **Sexta Mar 07, 2008 10:08 pm**

Oh não, o Henrique é telepata! :shock:

Enviado: **Sexta Mar 07, 2008 10:11 pm**

jap Escreveu:Oh não, o Henrique é telepata!

Oh sheep, my cover was blown! :lol:

O Prof. já ia postar este problema?

Enviado: **Sexta Mar 07, 2008 10:15 pm**

Imaginem a seguinte situação: um carro de massa M_c

que pode deslizar sem atrito e que transporte no seu interior um quarkiano de massa M_q

e que atira, de dentro do carro, bolas de ténis - o que propulsiona o carro. As bolas são atiradas uma a uma, com velocidade

em relação ao carro. Como o condutor não se quer cansar, e tem de retemperar forças, há um tempo razoável entre cada atiradela.

Sabe-se que o condutor dispõe no início de um saco com

bolas de ténis, cada uma de massa

.

Encontrar a expressão da velocidade do carro em função do número de bolas,

, que restam no saco... :lol:

PS: garanto-te que ia mesmo postar hoje este problema! :shock:

Não é exactamente igual ao teu, mas quase, quase...

Enviado: **Sábado Mar 08, 2008 12:47 pm**

Será esta a solução para o problema do Prof.?

$v = \frac{m(N - n)}{M - m(N - n)} u$

(

é o número de bolas no saco)

Enviado: **Sábado Mar 08, 2008 6:52 pm**

hexphreak Escreveu:Será esta a solução para o problema do Prof.?

$v = \frac{m(N - n)}{M - m(N - n)} u$

( é o número de bolas no saco)

Não me parece que esteja correcto... :no

Suponho que usaste a notação

M = M_c + M_q

e

para o número de bolas que restam no saco...

É isso? :roll:

Enviado: **Sábado Mar 08, 2008 9:44 pm**

Sim, esqueci-me de "traduzir" a notação que usei aqui no papel

Fui pela conservação da quantidade de movimento, mas devo ter errado alguma coisa... vou verificar.

Enviado: **Domingo Mar 09, 2008 3:21 am**

Já que estou sem dormir e estou, aproveitei para repensar a minha resposta. Será (utilizando a notação anterior):

$v = \frac{n - N}{M+nm}mu$

a solução correcta? :roll:

Pelo menos funciona para os casos limite n = 0

e

.

Enviado: **Quarta Mar 12, 2008 1:11 am**

Não, ainda não é a solução correcta! :no

Se comparares com o problema dos foguetões, verás que deverá aparecer, pelo menos "tendencialmente" um logaritmo algures :lol:

Enviado: **Segunda Mar 17, 2008 10:17 pm**

jap Escreveu:Não, ainda não é a solução correcta!

Se comparares com o problema dos foguetões, verás que deverá aparecer, pelo menos "tendencialmente" um logaritmo algures

Vamos voltar a pegar neste problema?

Só temos que somar os vários "piparotes" que o carro sofre sempre que é batida uma bola de ténis...

Enviado: **Segunda Mar 17, 2008 10:29 pm**

Vou dar uma ajuda!

Seja

a massa do carro e seu ocupante quarkiano, e v_n

a velocidade do carro quando há

das

bolas dentro do carro (as restantes já foram lançadas!).

Vamos ainda definir $\Delta v_n = v_{n-1} -v_n$
(notem que n tende para zero há medida que lançamos as bolas, pelo que $v_{n-1} > v_n$ !)

Assim, $\Delta v_n$ é o incremento da velocidade do carro quando é lançada uma das

bolas que restam no carro.

Vamos lá aplicar a lei da conservação da quantidade de movimento (ou do momento linear, como preferirem!) para obter $\Delta v_n$ .

Mostrem, aplicando esta lei, que

$\Delta v_n = \frac{u}{a+n}$ ,

onde a é o parâmetro adimensional definido da seguinte forma:

$a = \frac{M}{m}-1$ :wink:

Enviado: **Segunda Mar 17, 2008 10:34 pm**

Pois, eu cheguei a algum lado, mas as séries e eu... :lol:

Não é difícil obter a expressão para a variação de velocidade conseguida com cada bola:

$(M + nm)v + mu = (M + (n-1)m)(v + \Delta v)$

Logo

$\Delta v = \frac{m}{M + (n-1)m} u$

E agora a variação total de velocidade obtém-se calculando o somatório:

$v = \sum_N^0 \Delta v = \sum_N^0 \frac{m}{M + nm} u$

Mas eu só consigo chegar até:

$v = mu \frac{\sum_N^0 M + nm}{\prod_N^0 M + nm}$

Alguém com mais experiência que queira ajudar? :roll:

P.S.: Ah, o Prof. já se adiantou um bocado :lol:

Enviado: **Segunda Mar 17, 2008 11:18 pm**

Bem, o somatório é trivial de calcular... Não tem assim uma grande dificuldade. Agora o produtório é que dá cabo da cabeça. Podíamos usar o teorema binomial, se o

não mudasse...

Enviado: **Segunda Mar 17, 2008 11:18 pm**

Henrique,

A equação

$(M + nm)v + mu = (M + (n-1)m)(v + \Delta v)$

deveria ser

$(M + (nm))v + m(u-v) = (M + (n-1)m)(v + \Delta v)$ ,

ou seja,

$(M + (n-1)m)\Delta v = mu$ .

Para a bola, temos de usar a velocidade absoluta em relação ao solo ( u-v

e não

) quando aplicamos a lei da conservação da quantidade de movimento.
Concordas? :roll:

Enviado: **Segunda Mar 17, 2008 11:23 pm**

Claro, deixei escapar esse termo dos parêntesis ao fazer a transcrição

Obrigado pela correcção.

Eu tentei enquadrar o somatório entre dois integrais, para ver se pelo menos davam igual, mas no such luck

Quark!

Propulsão de um carro

Propulsão de um carro

Propulsão de um carro II