Propulsão de um carro

por **jap** em Segunda Mar 17, 2008 11:35 pm

hexphreak Escreveu:Claro, deixei escapar esse termo dos parêntesis ao fazer a transcrição Obrigado pela correcção.

Eu tentei enquadrar o somatório entre dois integrais, para ver se pelo menos davam igual, mas no such luck

Isso é uma excelente ideia :hands:

e vais ver que dá resultado. Senão repara:

Seja então $\Delta v_n = \frac{u}{a+n}$

onde a está definido acima.

Então

$v_n = \sum_{i=n+1}^{i=N} \Delta v_i, \quad n < N$

e

v_n = 0

,

(supomos que o carro parte do repouso!).

A velocidade final do carro é, portanto,

$v_f = \sum_{n=1}^{N}\Delta v_n$

ou ainda

$v_f = u \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{a+n}$ .

Reparem que, tal como nos foguetões, a velocidade final não depende da taxa de ejecção: tanto importa que o saco das N balas seja esvaziado em 10 min ou em 10 h...

A série da forma

$\frac{1}{a}, \frac{1}{a+1}, \frac{1}{a+2} \dots$

é bem conhecida dos matemáticos... :lol:

por **jap** em Segunda Mar 17, 2008 11:44 pm

Podemos, de facto, "encaixar" a série entre dois integrais:

Por um lado,

$\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{a+n}< \int_0^N \frac{1}{a+x}dx = \ln\frac{a+N}{a}$

Por outro
$\frac{1}{a}+ \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{a+n} > \int_0^{N+1} \frac{1}{a+x}dx = \ln\frac{a+N+1}{a}$ ,

ou seja,
$\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{a+n} > \int_0^{N+1} \frac{1}{a+x}dx = \ln\frac{a+N+1}{a} -\frac{1}{a}$ .

Ficamos assim a saber que

$u \left(\ln\frac{a+N+1}{a} -\frac{1}{a}\right) < v_f < u \ln\frac{a+N}{a}$

PS: Vou ver se arranjo umas figuras que ilustrem a lógica por detrás destes cálculos... :wink:

Talvez estas figuras ajudem a compreender as desigualdades acima :wink:

por **hexphreak** em Segunda Mar 17, 2008 11:54 pm

Ah, então não era para obtermos mesmo a expressão exacta? :roll:

Ainda bem, o Sagar e eu já estávamos com dificuldades em arrancar um logaritmo ao produtório :lol:

por **jap** em Terça Mar 18, 2008 12:02 am

hexphreak Escreveu:Ah, então não era para obtermos mesmo a expressão exacta? Ainda bem, o Sagar e eu já estávamos com dificuldades em arrancar um logaritmo ao produtório

Bem, expressão exacta nós já temos, mas soma a forma de um somatório! :lol:

Mas podemos obter facilmente uma expressão assimptótica para v_f

quando $M/m \to \infty$ ! :lol:

por **jap** em Terça Mar 18, 2008 12:44 am

Update da mensagem acima, com figuras. :wink:

E agora aqui ficam aqui para vocês resolverem:

a) Mostrar que quando M >> m

, os cálculos acima conduzem à velha conhecida "fórmula dos foguetões" :lol:

$v_f \sim u \ln \left(\frac{M_0}{M}\right)$ ,

onde M_0 = M_c + M_q + Nm

a massa total à partida e M = M_c + M_q

, a "massa final".

b) Calculem o valor exacto da velocidade final (em km/h!) e o valor aproximado (expressão a) ) para o caso em que

$m = \rm 60~g$

$M_c = \rm 100~kg$

$M_q = \rm 80~ kg$

N = 1000

por **hexphreak** em Terça Mar 18, 2008 1:06 pm

jap Escreveu:E agora aqui ficam aqui para vocês resolverem:

a) Mostrar que quando , os cálculos acima conduzem à velha conhecida "fórmula dos foguetões"

$v_f \sim u \ln \left(\frac{M_0}{M}\right)$ ,

onde a massa total à partida e , a "massa final".

Quando

, $a \approx \frac{M}{m}$ , e portanto podemos aproximar o limite à direita por:

$u \ln \frac{a+N}{a} \approx u \ln \frac{M + Nm}{M} = u \ln \frac{M_0}{M}$

Fazendo a aproximação à esquerda resulta no mesmo valor

jap Escreveu:b) Calculem o valor exacto da velocidade final (em km/h!) e o valor aproximado (expressão a) ) para o caso em que

$m = \rm 60~g$

$M_c = \rm 100~kg$

$M_q = \rm 80~ kg$

Acho que o Prof. se esqueceu da velocidade

P.S.: Para $u = 10\mbox{ km\,h^{-1}}$ , o erro é de 0.01%! :shock:

por **jap** em Terça Mar 18, 2008 4:12 pm

Tens razão, esqueci-me de dar a velocidade

com que é atirada a bola! :oops:

Para um bom tenista, u pode ir aos 50 m/s, mas o valor de 10 km/h é razoável!

Qual é a velocidade final do carro, nestas cirscunstâncias? :roll:

por **hexphreak** em Terça Mar 18, 2008 5:17 pm

Código: Seleccionar Todos: Exact velocity: 2.877237 km/h Approx velocity: 2.876821 km/h

Espero não ter cometido nenhum erro de unidades :roll:

por **jap** em Terça Mar 18, 2008 6:17 pm

hexphreak Escreveu:
Código: Seleccionar Todos
Exact velocity: 2.877237 km/h Approx velocity: 2.876821 km/h

Espero não ter cometido nenhum erro de unidades

Sim, está bem. :wink:

para um bom tenista, a velocidde

pode ser bem maior e, consequentemente, o carro poderia atingir uma velocidade maior da ordem de algumas dezenas de quilómetros por hora (mas não sei se o tenista conseguiria aguentar a mesma performance nas 1000 tacadas! :lol:

.

por **pfc** em Sexta Jan 09, 2009 3:05 pm

Só para acrescentar aqui que o serviço mais rápido foi feito a 249.4km/h que corresponde a cerca de 69.4m/s

E isto foi feito durante um jogo oficial, ou seja, com o cuidado de passar a bola por cima da rede e de ela entrar na área de serviço, contando assim como um serviço válido. Para além disso, não se pode dar lanço, o que também é capaz de diminuir a velocidade do serviço

A velocidade a que um jogador poderia servir à vontade seria então um bocado maior do que 250km/h

Propulsão de um carro

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