Uma questão de neutralidade

[Bruno Oliveira]

Hum... Pensando melhor, seja a força que a terra exerce em nós e a força que a Lua exerce em nós, em função da distância de nós ao centro da Terra (estou a considerar que nos movemos só na recta que une os centros).

Ora, se o sinal de for negativo, estamos a ser atraídos pela Lua. Se for positivo, estamos a ser atraídos pela Terra.

Seja o raio da Terra.

Ora, obviamente . Mas por outro lado .

Logo, pelo teorema do valor intermédio, há um ponto algures no interior da Terra onde as duas forças são iguais.

Mas pelos vistos poderíamos fazer um raciocínio semelhante para a Lua e haveria um ponto neutro dentro da Lua também, não?

Assim já não teríamos 2 pontos neutros, mas sim 3

O que me parece é que recorrendo simplesmente a equilibrio das forças gravíticas que a Terra exerce no corpo e que a Lua exerce no corpo, temos, seguramente, 1 ponto neutro na recta que une os centros. O que me leva a pensar que a existência de um 2º ponto neutro nesse mesma recta entre a Terra e a Lua, tem de se dever a mais qualquer coisa...

ETA: Vamos ler Júlio Verne?

[ampat]

Se não ignorarmos o movimento de rotação do sistema Terra-Lua, existem, de facto, 3 pontos de equilíbrio sobre a recta que une os centros de massa da Terra e da Lua. Mas acho que existe unicamente um ponto entre o centro da Terra e o centro da Lua, sendo que um dos outros pontos de equilibrio se situa para lá da Lua e o outro fica ainda um bocado afastado da Terra mas no sentido oposto. Talvez esteja a ignorar alguma coisa que não devia...

Estive a ler uma coisa sobre pontos de Lagrange. Será que pode ajudar?:)

[Bruno Oliveira]

Se não ignorarmos o movimento de rotação do sistema Terra-Lua, existem, de facto, 3 pontos de equilíbrio sobre a recta que une os centros de massa da Terra e da Lua. Mas acho que existe unicamente um ponto entre o centro da Terra e o centro da Lua, sendo que um dos outros pontos de equilibrio se situa para lá da Lua e o outro fica ainda um bocado afastado da Terra mas no sentido oposto. Talvez esteja a ignorar alguma coisa que não devia...

Estive a ler uma coisa sobre pontos de Lagrange. Será que pode ajudar?:)

Um ponto entre a Terra e a Lua e um ponto para lá da Lua, foram valores de distância correspondentes com os valores que obtive na minha simulação pitónica de ontem à noite! Mas, segundo o prof. JAP, para lá da Lua não vale, o que significa que nos está a escapar qualquer coisa que por sinal pode ser muito importante e quiçá, muito trivial

[ampat]

AH, acho que deve haver um ponto no interior da Lua onde a atracção da Terra e da Lua se compensam. Porque, à medida que penetramos no interior da Lua, a massa que fica 'por baixo' de nós diminui, logo a atracção gravítica da Lua também se torna menor, acabando por existir um ponto onde ambas as forças (atracção da Terra e da Lua) se compensam.
Será que este 2º ponto se situa a cerca de 2900 metros do centro da Lua?

PS: Usei como dados , , e

[Bruno Oliveira]

Hum, receio não estar a perceber completamente o teu racíocino, André...

É que já sabemos que a força gravítica diminui de intensidade com o quadrado da distância ao centro do astro considerado, certo? Então, se o ponto está no interior da Lua, ele vai ter uma força de atracção para o centro desta, bastante grande, e tanto maior quanto mais fundo estiver, ou está-me aqui a falhar alguma coisa? É que por essa ideia parece-me que o corpo estaria com uma força resultante que aponta em relação ao centro da Lua... Por outro lado o meu raciocinio pode estar viciado na medida em que, como o corpo está dentro da Lua, este passa a incorporar a Lua, sendo a variação de massa desta desprezável...

EDIT: Ah, não espera lá... isso até faz sentido... Como a Terra e a Lua se atraem mutuamente mas o corpo está "muito" atraído para a Lua, parece-me que é uma situaçao até bastante possível... Vou dar uma corrida e à vinda desenrasco umas contas...

[ampat]

Isto deve-se a um teorema que Newton demonstrou e que afirma que e o campo gravítico no interior de uma casca homogénea é nulo. Já foi discutido neste fórum aqui: http://algol.fis.uc.pt/quark/viewtopic.php?f=35&t=48&p=260&hilit=teorema+newton+casca#p260.
Assim, quanto mais embrenhados na Lua, menos massa temos por baixo de nós a exercer atracção gravítica (e a massa que está 'por cima' não tem efeito, segundo o teorema de Newton) e, por isso, há-de chegar uma altura em que tanto a força de atracção gravítica da Terra e da Lua se compensam.

Seja a densidade da Lua, a distância entre o dito ponto e o centro da Lua e a distância Terra-Lua.
Então, no ponto procurado, ambas as forças de atracção da Terra e da Lua se compensam, ou seja,

,

onde é a quantidade de massa da Lua que se encontra 'por baixo' do corpo. Mas, estando o corpo a uma distância do centro da Lua, a massa é igual a:



Logo, este ponto estará a uma distância do centro da Lua, tal que



Como , então a equação final a resolver em ordem a é




Acho que é isto.
O outro ponto neutro já foi calculado pelo Bruno.

Edit: Mas assim também há outro ponto neutro no interior da Terra como disse o Ricardo Campos...

[Bruno Oliveira]

Pois... O que significaria que existem não 1 como é divulgado sempre (apenas aprendi que existia 1 ponto neutro, foram contas que fiz no ano passado na minha disciplina de Física), nem 2 pontos (o que para mim já é surpreendente!), mas sim 3 pontos neutros...

Vamos ver o que é sai daqui...

[RicardoCampos]

Pois, era isso que eu estava a dizer.

é simplesmente a força que a Terra faz a um ponto no seu centro. Ou seja, nenhuma.
A força que a Terra exerce num ponto diminui linearmente à medida que o ponto penetra a mesma, em vez de aumentar, por isso é que haveria um outro ponto de equilíbrio (e consequentemente um terceiro dentro da Lua)

E sim, desprezei completamente o facto de a Terra rodar. Acho que isso aqui não tem importância nenhuma.

Mas já agora gostaria que o prof. jap confirmasse se eu não andei a dizer disparates por aqui, ou se não era nada disto em que estava a pensar

[ampat]

Sim, de facto, a rotação do sistema Terra-Lua influencia muito pouco o local dos pontos neutros sobre a recta.

[Bruno Oliveira]

Vamos esperar pela resolução "oficial"

[jap]

AH, acho que deve haver um ponto no interior da Lua onde a atracção da Terra e da Lua se compensam. Porque, à medida que penetramos no interior da Lua, a massa que fica 'por baixo' de nós diminui, logo a atracção gravítica da Lua também se torna menor, acabando por existir um ponto onde ambas as forças (atracção da Terra e da Lua) se compensam.
Será que este 2º ponto se situa a cerca de 2900 metros do centro da Lua?

PS: Usei como dados , , e

Sim, é isso mesmo, e a solução é a que tu indicaste em detalhe no teu outro post! ( e o raciocínio usando o teorema do valor intermédio do Ricardo também é válido e dá-nos bom insight para "atacar" o problema!)

A chave da questão estava mesmo em perceber que no interior dos planetas o campo gravítico cresce linearmente com a distância a partir do centro!

Claro está que existe (matematicamente) uma outra solução (o terceiro ponto neutro), a 22 m do centro da Terra. Esta solução é fisicamente irrelevante, atendendo a que o movimento da Terra em torno do CM do sistema Terra-Lua é bem mais amplo do que estes 22 m (se quiserem calculem onde fica o CM do sistema)....

Já agora, dava jeito fazer aqui o gráfico do gampo gravítico da Terra e da Lua em função de x (distância ao centro da Terra), para se visualisar bem a diferente dependência funcional no interior e no exterior dos planetas e os pontos em que o campo criado pela Terra iguala ao campo criado pela Lua...

Já agora, para aqueles com maior inclinação para charadas matemáticas:

Consideremos dois corpos massivos homogéneos, esféricos, de raios e e massas e . A distância entre os centros dos dois corpos é D.

Em que condições é que existe (na linha que une os centros dos dois corpos, entre o centro de um corpo e o centro do outro)

a) um só ponto neutro e onde é que ele se situa?
b) exactamente dois pontos neutros?
c) três pontos neutros?

Poderá não existir um ponto neutro?

[RicardoCampos]

Note-se ainda uma curiosidade quanto aos pontos neutros. Enquanto que o ponto neutro "normal" entre a Terra e a Lua é um ponto de equilíbrio instável, o ponto dentro da Terra já é estável

[ampat]

Fiz 3 gráficos, um no interior da Terra, outro no interior da Lua e o último para dar uma visão global. Os gráficos representam a força de atracção gravítica exercida pela Terra e pela Lua numa massa unitária, sendo a força negativa se tiver o sentido da Lua para a Terra e positivo caso contrário.
Não devem estar nada de muito espectacular porque eu não sou grande especialista no gnuplot , mas acho que dá para perceber e consegue-se ver que o ponto neutro no interior da Terra ocorre mais ou menos a 20 m do centro e que o ponto neutro no interior da Lua se situa a cerca de 2900 m do seu centro.

Deixo aqui os links com as imagens:

Interior da Terra
Visão Global
Interior da Lua

Já agora, como é que se pode colocar os valores mostrados nos eixos de x em x metros neste caso, em vez de ser o próprio programa a decidir o intervalo a que mostra os valores ? E dá para evidenciar pontos 'especiais' como zeros da função ou valores das abcissas (como o valor da distância igual ao raio da Terra) ?
Obrigado

Edit: Esqueci-me de colocar no gráfico, mas a unidade de força é o Newton e a de distância é o metro.

[Tharis]

Eu acabei agora mesmo de fazer um gráfico também.

Os valores negativos significam que a força tem sentido Terra->Lua e visualiza-se bem que os extremos são as gravidades à superfície dos dois astros.

@ampat, podes colocar o gráfico do gnuplot numa imagem sem recorrer ao printscreen.

Código: Seleccionar Todos

set terminal gif
set output "grafico.gif"

Depois é fazer o plot normal.

[ampat]

Obrigado . Eu já tinha reparado nesse comando, mas não sabia o que meter em 'terminal'.