Cubo de gelo

Neste arquivo iremos colocar os problemas já resolvidos (não são problemas "mortos" porque a discussão pode continuar a qualquer altura!)

Re: Cubo de gelo

Mensagempor hexphreak em Quarta Jun 24, 2009 7:27 pm

Não podes simplesmente adicionar um sinal de módulo para evitar esse comportamento, quando ele não devia estar lá...

Na verdade, o comportamento do sistema é bastante interessante :) Vamos voltar à tua expressão para a aceleração:

\displaystyle {dv \over dt} = {\mu g \over L} (v^2 - L)

A partir desta expressão, é possível concluir (verifiquem :wink:) que m(t) = m_0 e^{-t/\tau}, com \tau = \sqrt L/\mu g. Por outro lado, podemos também resolver por integração para v(t) (ver post acima):

\displaystyle v(t) = {L \tanh(t/\tau) - v_0\sqrt L \over v_0\tanh(t/\tau) - \sqrt L}

Para v_0^2 < L, obtemos uma curva decrescente até v = 0, conforme esperado. Para v_0^2 = L, substituindo para a aceleração, vemos que a velocidade se mantém constante! :shock: O que acontece neste caso é que a perda de massa equilibra exactamente o trabalho do atrito, mantendo o bloco sempre à mesma velocidade.

Por outro lado, para v_0^2 > L, vemos que a aceleração é positiva: neste caso, a perda de massa é o factor dominante, fazendo a velocidade disparar para o infinito mais ou menos rapidamente, conforme o factor \tau. Este facto infere-se facilmente das características da função \tanh: o seu contradomínio é ]-1,1[, sendo que tende assimptoticamente para 1 quando t \to +\infty. Assim, o denominador na expressão para v(t) vai tender para zero, tornando a velocidade infinita. Obviamente, neste limite a nossa análise deixa de ser válida... :lol:

Honestamente, ainda não tinha resolvido o problema quando o postei, por isso esta análise é uma surpresa também para mim :wink:
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Re: Cubo de gelo

Mensagempor jap em Quarta Jun 24, 2009 9:40 pm

Concordo com a tua análise e é realmente muito interessante! :D

Continuo a achar que era giro fazer um pequeno programazito que integrasse numericamente as equações do movimento e que numa animação (VPython?) mostrasse esses 3 regimes...:D
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Re: Cubo de gelo

Mensagempor Tharis em Quarta Jun 24, 2009 11:27 pm

jap Escreveu:Concordo com a tua análise e é realmente muito interessante! :D

Continuo a achar que era giro fazer um pequeno programazito que integrasse numericamente as equações do movimento e que numa animação (VPython?) mostrasse esses 3 regimes...:D



Estou disposto a fazer o programa em troca de uma explicação (dos cálculos) do tipo "Explica-me como se eu fosse muito burro(a)!" ou então "Explica-me como se fosse um puto (não-chinês) de 10 anos" :XD :mock:
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Re: Cubo de gelo

Mensagempor jap em Quinta Jun 25, 2009 12:39 am

Aqui vai o algoritmo (basta ver as equações que resultam directamente de aplicar \vec F = \frac{d\vec p}{dt} alguns posts acima) em pseudo-python:

Código: Seleccionar Todos

input L, m0, v0, mu, dt

m = m0
v = v0
t = 0

while m > 0:
   dm = - (mu * m * g * v)/L * dt
   dv = (v^2-L)/L * mu * g * dt
   m += dm
   v += dv
   t += dt
   plot t,v,m


Ora verifica. Dá para perceber? :roll:
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Re: Cubo de gelo

Mensagempor Tharis em Quinta Jun 25, 2009 11:45 am

Prof, eu sabia passar as equações para código, a questão é mesmo relacionada com a resolução (não obstante, poupa-me já uma parte :D ), mas parece que tenho de estudar e aprender algumas coisas relacionadas com cálculo, alguma leitura recomendável?
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Re: Cubo de gelo

Mensagempor Bruno Oliveira em Quinta Jun 25, 2009 12:26 pm

Eu tenho estado a estudar (ler a teoria e fazer os exercicios propostos) do livro "Introdução ao Cálculo" da Colecção Schaum.

Gosto bastante dele, pois parece-me bem organizado e não demasiado denso.

Se quiseres uma leitura técnica e bastante profunda podes tentar ler o "Thomas` Calculus Tenth Edition" de Wier, Giordanno & Finney :wink:
e^{ix}=cos x + i\,sin x
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Re: Cubo de gelo

Mensagempor hexphreak em Quinta Jun 25, 2009 12:27 pm

Tharis Escreveu:Prof, eu sabia passar as equações para código, a questão é mesmo relacionada com a resolução (não obstante, poupa-me já uma parte :D ), mas parece que tenho de estudar e aprender algumas coisas relacionadas com cálculo, alguma leitura recomendável?

Há algumas muito acessíveis e até divertidas. Para uma abordagem mais formal e rigorosa (mas que não deixa de ser extremamente legível; eu usei-o no 7º ano :wink:), tens o Spivak (SPIVAK, Michael, Calculus). Outra grande referência é o Apostol (APOSTOL, Tom, Calculus, vol. 1 e 2), que é um pouco mais intuitivo e bastante mais extenso (inclui Álgebra Linear, equações diferenciais, probabilidades e cálculo de várias variáveis, em dois volumes). Por outro lado, da escola russa, tens por exemplo o Piskunov (PISKUNOV, N., Differential and Integral Calculus, vol. 1 e 2).

Estes são os clássicos, mas no final acaba por ser uma questão de preferência pessoal mais do que uma questão de qualidade dos livros. Mais logo vejo se posto aqui uma explicação detalhada dos cálculos :wink:
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Re: Cubo de gelo

Mensagempor jap em Quinta Jun 25, 2009 3:07 pm

Tharis Escreveu:Prof, eu sabia passar as equações para código, a questão é mesmo relacionada com a resolução (não obstante, poupa-me já uma parte :D ), mas parece que tenho de estudar e aprender algumas coisas relacionadas com cálculo, alguma leitura recomendável?


Mas as equações acima são as que resultam directamente, sem mais truques ou cálculo, de aplicar a equação \vec F = \frac{d\vec p}{dt}.

Eu não usei (para as equações do código acima) nenhuma integração ou algo do género...é pura 2ª lei de Newton e nada mais, para além de usar a definição de calor latente de fusão! :lol:
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Re: Cubo de gelo

Mensagempor hexphreak em Quinta Jun 25, 2009 6:40 pm

Já agora, não aconselho usar Euler neste caso... antes de efectuar a análise acima corri uma simulação em C para a velocidade e para a massa com um dt de 0.1ms, e o erro, comparando com as expressões exactas, torna-se significativo com a aproximação do zero ou da singularidade :roll:
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Re: Cubo de gelo

Mensagempor Tharis em Quinta Jun 25, 2009 6:49 pm

jap Escreveu:
Tharis Escreveu:Prof, eu sabia passar as equações para código, a questão é mesmo relacionada com a resolução (não obstante, poupa-me já uma parte :D ), mas parece que tenho de estudar e aprender algumas coisas relacionadas com cálculo, alguma leitura recomendável?


Mas as equações acima são as que resultam directamente, sem mais truques ou cálculo, de aplicar a equação \vec F = \frac{d\vec p}{dt}.

Eu não usei (para as equações do código acima) nenhuma integração ou algo do género...é pura 2ª lei de Newton e nada mais, para além de usar a definição de calor latente de fusão! :lol:


:XD :lol: :oops: Eu nem olhei para as equações de cima e de baixo... Anyway, tá aqui o código:




Tem aí umas coisas que não se enquadram na minha definição de "Bonito" nem de "Arte", mas está bom para o pouco tempo que levei a codar. ;)
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Re: Cubo de gelo

Mensagempor jap em Quinta Jun 25, 2009 7:18 pm

Obrigado! :D

Está fixe, sim! :wink:
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Re: Cubo de gelo

Mensagempor euclides em Sábado Jul 04, 2009 8:14 pm

hexphreak Escreveu:Consideremos um cubo de gelo de massa inicial m_0 a deslizar numa superfície horizontal, com coeficiente de atrito \mu. A sua velocidade inicial é v_0, e o calor latente de fusão do gelo é L_f.

Encontrar a velocidade v(t) em função do tempo. :wink:


P.S.: Este problema foi-me dado por um amigo meu, estudante de Matemática em França. Parece que lá os matemáticos têm problemas de Física engraçados :P

Como sou novo por aqui, andei a vasculhar umas coisas mais antigas e deparei-me com esta questão. O enunciado nos induz a pensar em muita coisa, porém vamos nos fiar em Galileo e Newton que nos ensinaram que a velocidade a cada instante vai depender exclusivamente da velocidade inicial e da aceleração. Posto que v_0 é uma constante, investiguemos como varia a aceleração.

A cada instante será dada por a(t)=\frac{f_{at}(t)}{m(t)}, sendo a força de atrito a cada instante dada por f_{at}(t)=\mu.m(t).g e logo

a(t)=\frac{\mu.m(t).g}{m(t)} ou seja, descobrimos que a=\mu.g sendo constante e não dependendo da massa!!! E assim a velocidade em função do tempo será simplesmente: v(t)=v_0-\mu.g.t enquanto houver algo para deslizar.
O que há para adiante é mais caminho...
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Re: Cubo de gelo

Mensagempor Simbelmyne em Sábado Jul 04, 2009 8:19 pm

hexphreak Escreveu:
Tharis Escreveu:Prof, eu sabia passar as equações para código, a questão é mesmo relacionada com a resolução (não obstante, poupa-me já uma parte :D ), mas parece que tenho de estudar e aprender algumas coisas relacionadas com cálculo, alguma leitura recomendável?

Há algumas muito acessíveis e até divertidas. Para uma abordagem mais formal e rigorosa (mas que não deixa de ser extremamente legível; eu usei-o no 7º ano :wink:), tens o Spivak (SPIVAK, Michael, Calculus). Outra grande referência é o Apostol (APOSTOL, Tom, Calculus, vol. 1 e 2), que é um pouco mais intuitivo e bastante mais extenso (inclui Álgebra Linear, equações diferenciais, probabilidades e cálculo de várias variáveis, em dois volumes). Por outro lado, da escola russa, tens por exemplo o Piskunov (PISKUNOV, N., Differential and Integral Calculus, vol. 1 e 2).

Estes são os clássicos, mas no final acaba por ser uma questão de preferência pessoal mais do que uma questão de qualidade dos livros. Mais logo vejo se posto aqui uma explicação detalhada dos cálculos :wink:


Tens também o Calculus, do James Stewart, que é o livro recomendado para Cálculo I, pelo menos no Porto. é bastante fácil de perceber e explica tudo direito. É muito bom para quem nunca viu um integral na vida, but, é chato. Usei o Spivak e o Apostol. Obrigam-te a pensar.
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Re: Cubo de gelo

Mensagempor hexphreak em Sábado Jul 04, 2009 8:22 pm

Olá Euclides,

O problema é um pouco mais complicado do que isso. Na verdade, a segunda lei de Newton é:

\displaystyle F = {dp \over dt}

Como a massa varia durante o movimento, a solução não é assim tão simples... Vê o resto da thread para uma discussão e resolução do problema :)
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Re: Cubo de gelo

Mensagempor euclides em Sábado Jul 04, 2009 10:53 pm

hexphreak Escreveu:Olá Euclides,

O problema é um pouco mais complicado do que isso. Na verdade, a segunda lei de Newton é:

\displaystyle F = {dp \over dt}

Como a massa varia durante o movimento, a solução não é assim tão simples... Vê o resto da thread para uma discussão e resolução do problema :)


Obrigado. Talvez eu não tenha percebido algo, mas note, por favor, que eu supus que força de atrito, e massa variam com o tempo, razão de por que escrevi F_{at}(t)=\mu.m(t).g o que deveria fornecer a força de atrito a cada instante já que m(t) é a massa considerada a cada momento.

Nesse caso a(t)={\mu.m(t).g \over m(t) resulta uma constante.

Se persisto em êrro queira, por favor, indicá-lo.
O que há para adiante é mais caminho...
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