Efeito de Doppler

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Efeito de Doppler

Mensagempor duarte.magano em Quarta Abr 30, 2014 5:34 pm

Amigos quarkianos,

O efeito de Doppler clássico é dado por:

\dfrac{f_{observada}}{f_{emitida}}=\dfrac{c}{c+v}


Relativisticamente falando, temos que:

\dfrac{f_{observada}}{f_{emitida}}=\sqrt{\dfrac{c-v}{c+v}}


A segunda equação aproxima-se-se à primeira para velocidades muito pequenas. Podem verificar que usando, por exemplo, uma velocidade de 1000m/s, a calculadora não distingue os resultados das duas.

O meu problema é que não estou a conseguir transformar a relativística na clássica com as séries de Taylor. Devo estar a fazer algum erro ou então não estou a ver bem a questão.
Algum me pode ajudar?
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Re: Efeito de Doppler

Mensagempor antonio_carneiro em Quarta Abr 30, 2014 10:19 pm

Eu não conheço a primeira fórmula :s Só conheço o efeito Doppler clássico pela fórmula fe/fo= sqrt((Vonda - Vobs)/(Vonda - Vfonte)). Como se aplica a primeira fórmula ?
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Re: Efeito de Doppler

Mensagempor duarte.magano em Quarta Abr 30, 2014 11:00 pm

Acho que as duas fórmulas vão dar ao mesmo, mas não tenho a certeza.
Na minha, v é a velocidade da fonte emissora de radiação relativamente a mim.
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Re: Efeito de Doppler

Mensagempor antonio_carneiro em Quinta Maio 01, 2014 1:50 pm

Também não consigo obter essa a partir da outra. Dá me 1+ umas mistura de (c-v) e (c+v) elevado a algo. Não percebo é qual a diferença entre as duas expressões.
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Re: Efeito de Doppler

Mensagempor duarte.magano em Quinta Maio 01, 2014 11:02 pm

Conseguiste verificar numericamente, para velocidades pequenas, as duas fórmulas dão o mesmo valor?
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Re: Efeito de Doppler

Mensagempor antonio_carneiro em Sexta Maio 02, 2014 2:03 pm

Não :s mas é suposto se os valores de v tenderem para 0 a segunda fórmula tornar - se na primeira? Eu tentei com séries de Taylor, mas não dá isso :s
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Re: Efeito de Doppler

Mensagempor joaofrme em Sexta Maio 02, 2014 2:46 pm

Eu também não consigo chegar lá analiticamente, mas talvez o problema seja que as fórmulas têm demonstrações muito diferentes, no efeito relativista não se consideram como dois casos diferentes o facto de ser o observador a mover-se ou de ser a fonte a mover-se. Talvez não se consiga mesmo chegar de uma a outra. Porque não foram propriamente feitas correcções à já existente, criou-se uma nova porque com a luz nunca se pode usar o doppler clássico.

Mas por outro lado se elas dão resultados muito parecidos, elas deveriam ser equivalentes. Por isso talvez esteja errado.
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Re: Efeito de Doppler

Mensagempor Tharis em Quinta Maio 08, 2014 10:46 pm

Chegar da segunda fórmula à primeira por meio de uma série de Taylor não vai ser muito fácil não. Reparem que uma série de Taylor é um polinómio (termos em x^n com n inteiro). A vossa variável x é a velocidade v. Como podem ver na primeira fórmula o v está no denominador (por contraste com o polinómio de Taylor). Já devem ter intuído que podemos utilizar a fracção inversa (à qual temos de chegar) para resolver este problema.

\dfrac{f_{emitida}}{f_{observada}}=\dfrac{c+v}{c} = 1 + \dfrac{v}{c}

Pegando na fórmula relativista também invertida:

\dfrac{f_{emitida}}{f_{observada}}=\sqrt{\dfrac{c+v}{c-v}}

e calculando a primeira derivada derivada em ordem a v

\dfrac{d}{d v} \sqrt{\dfrac{c+v}{c-v}} = \dfrac{c}{(c-v)^2\sqrt{\dfrac{c+v}{c-v}}}

que toma \dfrac{1}{c} quando v = 0.

Como para v=0 (ponto onde se faz a expansão) \sqrt{\dfrac{c+v}{c-v}}_{v=0} = 1, temos finalmente:

\dfrac{f_{emitida}}{f_{observada}}=\sqrt{\dfrac{c+v}{c-v}} \approx 1 + \dfrac{v}{c}
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Re: Efeito de Doppler

Mensagempor joaofrme em Sexta Maio 09, 2014 3:56 pm

Obrigado pela resposta. Realmente assim já faz mais sentido.
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Re: Efeito de Doppler

Mensagempor duarte.magano em Sexta Maio 09, 2014 8:45 pm

Sim, obrigado. :D

Mas hoje ouvi uma maneira interessante de ligar as duas equações (vinda do ex-quarkiano Rui Azevedo):

Podemos passar da clássica para a relativista simplesmente multiplicando-a-a por \gamma:

\dfrac{f_{emitida}}{f_{observada}}=\dfrac{(c+v)*\gamma}{c} = \dfrac{c+v}{c \sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}} = \sqrt{\dfrac{(c+v)^2}{c^2(1-\dfrac{v^2}{c^2})}}= \sqrt{\dfrac{(c+v)^2}{c^2-v^2}}
=\sqrt{\dfrac{(c+v)^2}{(c-v)(c+v)}}= \sqrt{\dfrac{c+v}{c-v}} qed
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Re: Efeito de Doppler

Mensagempor joaofrme em Segunda Maio 12, 2014 1:30 pm

Bom truque
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