Efeito de Doppler

[duarte.magano]

Amigos quarkianos,

O efeito de Doppler clássico é dado por:




Relativisticamente falando, temos que:




A segunda equação aproxima-se-se à primeira para velocidades muito pequenas. Podem verificar que usando, por exemplo, uma velocidade de 1000m/s, a calculadora não distingue os resultados das duas.

O meu problema é que não estou a conseguir transformar a relativística na clássica com as séries de Taylor. Devo estar a fazer algum erro ou então não estou a ver bem a questão.
Algum me pode ajudar?

[antonio_carneiro]

Eu não conheço a primeira fórmula :s Só conheço o efeito Doppler clássico pela fórmula fe/fo= sqrt((Vonda - Vobs)/(Vonda - Vfonte)). Como se aplica a primeira fórmula ?

[duarte.magano]

Acho que as duas fórmulas vão dar ao mesmo, mas não tenho a certeza.
Na minha, é a velocidade da fonte emissora de radiação relativamente a mim.

[antonio_carneiro]

Também não consigo obter essa a partir da outra. Dá me 1+ umas mistura de (c-v) e (c+v) elevado a algo. Não percebo é qual a diferença entre as duas expressões.

[duarte.magano]

Conseguiste verificar numericamente, para velocidades pequenas, as duas fórmulas dão o mesmo valor?

[antonio_carneiro]

Não :s mas é suposto se os valores de v tenderem para 0 a segunda fórmula tornar - se na primeira? Eu tentei com séries de Taylor, mas não dá isso :s

[joaofrme]

Eu também não consigo chegar lá analiticamente, mas talvez o problema seja que as fórmulas têm demonstrações muito diferentes, no efeito relativista não se consideram como dois casos diferentes o facto de ser o observador a mover-se ou de ser a fonte a mover-se. Talvez não se consiga mesmo chegar de uma a outra. Porque não foram propriamente feitas correcções à já existente, criou-se uma nova porque com a luz nunca se pode usar o doppler clássico.

Mas por outro lado se elas dão resultados muito parecidos, elas deveriam ser equivalentes. Por isso talvez esteja errado.

[Tharis]

Chegar da segunda fórmula à primeira por meio de uma série de Taylor não vai ser muito fácil não. Reparem que uma série de Taylor é um polinómio (termos em com inteiro). A vossa variável é a velocidade . Como podem ver na primeira fórmula o está no denominador (por contraste com o polinómio de Taylor). Já devem ter intuído que podemos utilizar a fracção inversa (à qual temos de chegar) para resolver este problema.



Pegando na fórmula relativista também invertida:



e calculando a primeira derivada derivada em ordem a



que toma quando .

Como para (ponto onde se faz a expansão) , temos finalmente:

[joaofrme]

Obrigado pela resposta. Realmente assim já faz mais sentido.

[duarte.magano]

Sim, obrigado.

Mas hoje ouvi uma maneira interessante de ligar as duas equações (vinda do ex-quarkiano Rui Azevedo):

Podemos passar da clássica para a relativista simplesmente multiplicando-a-a por :

[joaofrme]

Bom truque