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Como calcular a esfera de influência de um astro?

MensagemEnviado: Quinta Dez 19, 2013 11:19 am
por gonced8
Bom dia, tenho estado com esta dúvida à qual não consigo responder nem encontrar resposta. Como é que calculo a esfera de influência da gravidade de um astro? Por outras palavras, como é que calculo a que distância do centro desse astro, a força gravítica é tão fraca que deixa de influenciar a órbita de um corpo?
Eu sei que o alcance da força gravítica é praticamente infinito mas se conseguimos calcular a "escape velocity", também conseguiremos calcular a tal distância em que a força gravítica é tão fraca que deixa de influenciar.
Calcular a velocidade para escapar a um astro é fácil, basta equivaler a energia cinética ao simétrico da energia potencial (Eci+Epi=Ecf+Epf <=>, como a energia cinética final é 0 e a energia potencial final também é 0, segue-se <=> Eci=-Epi , o que nos dá uma velocidade para escapar ao corpo que orbitamos).
Se conseguimos calcular uma velocidade também devíamos conseguir calcular uma distância na qual a gravidade do astro deixa de influenciar, ou seja, a energia potencial é 0.
Eu já estive a pensar como calcular essa distância mas não consigo lá chegar.
Ep=0 , através desta equação não vou lado nenhum (penso eu).
A minha outra hipótese seria descobrir essa distância da mesma forma que descubro o ponto mais distante numa órbita elíptica, através de um sistema com a conservação de energia mecânica e a conservação de momentum angular. Penso que desta forma conseguiria obter uma distância e assim, saber a esfera de influência mas também penso que há uma forma mais fácil que desconheço.
Agradeço qualquer resposta e espero que consigam responder a esta minha pergunta. Peço desculpa se cometi algum erro científico enquanto apresentava a questão.
Abraço :)

Re: Como calcular a esfera de influência de um astro?

MensagemEnviado: Domingo Dez 22, 2013 7:00 pm
por joaofrme
O complicado dessa questão é como é que defines "perder a influência", porque a solução de Ep=0 é r a tender para infinito. A questão quando é que consideras que a influência gravítica é tão pequena que é desprezável. O mais fácil seria definir uma aceleração tal em que o corpo praticamente não se movesse. A partir daí igualavas a aceleração à expressão gravítica e era fácil descobrir a distância em função da massa criadora do campo gravítico. O problema é qual o valor da aceleração desprezável. E isso não sei responder.
De outra forma é impossível porque teoricamente essa influência existe sempre, pois o campo gravítico tem alcance infinito.
Espero que já tenha ajudado alguma coisa, mas mais do que isto ainda não sei.

Re: Como calcular a esfera de influência de um astro?

MensagemEnviado: Domingo Dez 22, 2013 7:55 pm
por gonced8
Obrigado pela ajuda João. Essa distância é talvez indefinível devido ao alcance infinito da força gravítica. De qualquer maneira, obrigado pela resposta. Se alguma vez tiver que calcular essa distância farei como tu disseste e igualarei a uma aceleração desprezável. :D

Re: Como calcular a esfera de influência de um astro?

MensagemEnviado: Segunda Dez 23, 2013 12:52 pm
por joaofrme
De nada. è que realmente não vejo outra forma de o fazer

Re: Como calcular a esfera de influência de um astro?

MensagemEnviado: Quarta Dez 25, 2013 8:03 pm
por carloscouto
Talvez uma aceleração de 0,001 m/s^2 deva ser insignificante que chegue não ?

O resto é simples, tendo a massa do objecto (m) e do astro (M) facilmente calculas a distância máxima onde terá a aceleração que pretendes (r) usando a fórmula da Força de Gravitação Universal, FG = G *\frac{M*m}{r^2} e por último a 2ª Lei de Newton, já que Fr = Fg no espaço, Fr = m*a.

Substituindo isto tudo, tens que \sqrt{\frac{G*M}{0,001}} = r , em metros.

Era isto que pretendias ? :D

PS: Caso queiras adoptar outro valor de a, substituis o 0,001 pelo que desejares. Se houver algum erro/falha de raciocínio apitem. :lol:

EDIT: Ups, lapso meu, nem precisas da massa do objecto pois estas cortam-se na equação. :)

Re: Como calcular a esfera de influência de um astro?

MensagemEnviado: Sexta Dez 27, 2013 3:46 am
por gonced8
Isso é uma hipótese de calcular :) No entanto, acho que mesmo assim uma aceleração de 0,001 m/s^2 ainda era muito grande :mock:
Uma outra hipótese de que me lembrei e funciona entre dois corpos é fazer uma equação em que igualemos as duas forças gravíticas.
Imaginemos o caso do sistema Terra-Sol. Poderíamos calcular a que distância da Terra a força gavítica do Sol passa a ser mais forte que a da Terra e vice-versa. É simples, basta utilizar a Lei da Gravitação Universal de Newton (que tu já mostrste). Igualávamos duas forças gravíticas e num dos termos tínhamos rt (distância de um corpo até ao centro da Terra) e no outro tínhamos rs-rt (a distância desde o centro do Sol até ao centro da Terra menos a distância de um corpo até ao centro da Terra (o que nos dá a distância desde o corpo até o centro do Sol)).
Acho que também poderíamos calcular esta tal distância desta forma.
No caso de desconhecermos o sistema completo de forças a que o corpo em órbita está sujeito podemos sempre obter um valor aproximado da tal distância fazendo através método que apresentaste :D

Re: Como calcular a esfera de influência de um astro?

MensagemEnviado: Sexta Dez 27, 2013 12:46 pm
por carloscouto
Andei a pesquisar na net e também vi essa maneira, o único senão é que terias de ter a massa da estrela onde o astro orbitava e quanto menos variáveis puderes evitar melhor, mas é sem dúvida uma opção viável :D

Re: Como calcular a esfera de influência de um astro?

MensagemEnviado: Sábado Jan 04, 2014 5:34 pm
por carloscouto
Hoje enquanto deambulava pela Wikipédia encontrei isto:

De forma simplificada, sejam S o primário e P o corpo do qual se deseja determinar o raio de influência. O raio de influência é a distância a P na qual considerar o movimento de um terceiro corpo como orbitando o primário S ou como orbitando o corpo P produz o mesmo termo de erro na equação do movimento.

r_{inf} = a_p(\frac{m_p}{m_s})^{2/5}

em que:
a_p é o semi-eixo maior da órbita de P em torno de S
m_p e m_s são as massas, respectivamente, de P e S.

Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Esfera_de_influ%C3%AAncia_(astrodin%C3%A2mica)

Usando o sistema Terra-Sol-Nave conseguirias calcular o momento preciso em que a nave deixaria de estar influenciada pela gravidade terrestre. ( Deixaria vá, onde a influencia era mínima comparada com a do Sol)

Re: Como calcular a esfera de influência de um astro?

MensagemEnviado: Sábado Jan 04, 2014 7:31 pm
por gonced8
Acho que isso vai dar ao mesmo de fazer aquela tal equação mas essa fórmula é definitivamente mais fácil! :hands:

Re: Como calcular a esfera de influência de um astro?

MensagemEnviado: Sábado Jan 04, 2014 8:41 pm
por carloscouto
Só mesmo vendo, ora se:
Dados:


Pela fórmula da esfera de influência:


Pela igualação das Forças gravíticas ainda não tive tempo de fazer, mas o pouco que fiz deu-me uma equação enorme (devo estar a fazer algo mal) :wall:

Até agora tenho isto:


EDIT:
Fui ao Wolfram Alpha ver o que conseguia ver e a solução da equação dá um valor da mesma ordem de grandeza mas muito abaixo (inferior que a distância da Lua à Terra, o que é absurdo).

Wolfram Alpha

Re: Como calcular a esfera de influência de um astro?

MensagemEnviado: Sábado Jan 04, 2014 9:58 pm
por gonced8
Pois... :? Eu também fiz os cálculos e da maneira que eu disse deu uma distância de aproximadamente 2.588*10^8 metros.
Tal como tu dizes e, se eu não me engano, é uma distância inferior à distância da Lua à Terra...
Sinceramente não sei porque é que esta equação falha mas ainda bem que indicaste aquela outra :wink:

Re: Como calcular a esfera de influência de um astro?

MensagemEnviado: Sábado Jan 04, 2014 10:25 pm
por gonced8
Tive outra ideia maluca enquanto tomava banho :XD
A Lua consegue orbitar a Terra àquela distância por uma simples razão... a sua MASSA!
A Lua tem uma massa que não é desprezável pois cria um campo gravítico significativamente forte quando comparado com o da Terra.
Ora vejamos:

\LARGE F_{g Lua-Terra}=\frac{GM_{T}m_{L}}{r_{LT}^{2}}=\frac{6.67384*10^{-11}*5.9736*10^{24}*7.349*10^{22}}{405696000^2}=1.780*10^{20}N

r_{LT} é maior distância da Lua à Terra (apogeu)

\large F_{g Lua-Sol}=\frac{GM_{S}m_{L}}{r_{LS}^{2}}=\frac{6.67384*10^{-11}*1.9891*10^{30}*7.349*10^{22}}{(147098290000-405696000)^2}=\large 1.362*10^{15}N

r_{LS} é a menor distância da Lua ao Sol (a menor distância da Terra ao Sol - a maior distância da Lua à Terra)

Como podemos observar pelos cálculos, até no ponto em que a Lua está mais perto do Sol (Perélio), a força gravítica da Terra é maior do que a força gravítica do Sol, daí ela continuar a orbitar a Terra.
E, se isto estiver correto, aqueles outros cálculos não estão totalmente mal (apesar de serem uma aproximação "barata" :mock: ).
Que achas?
[EDIT - Tem um erro]

Re: Como calcular a esfera de influência de um astro?

MensagemEnviado: Sábado Jan 04, 2014 10:34 pm
por carloscouto
Primeiramente, descobri que há outra fórmula ainda mais exata de obter a esfera de influência, é a esfera de Hill, que já tem em conta a excentridade da órbita do corpo secundário á volta do primário.
A fórmula para o cálculo da esfera de Hill é dada por:


Fonte: Esfera de Hill

Segundamente, eu acho que o erro não é de calculo mas sim de raciocínio, nós estamos a igualar as duas forças gravíticas e tentar obter o ponto a partir do qual o corpo é afectado igualmente por ambos os corpos contudo poderemos estar a negligenciar algo. Só não sei o quê :(

Re: Como calcular a esfera de influência de um astro?

MensagemEnviado: Sábado Jan 04, 2014 11:31 pm
por carloscouto
gonced8 Escreveu:Tive outra ideia maluca enquanto tomava banho :XD
A Lua consegue orbitar a Terra àquela distância por uma simples razão... a sua MASSA!
A Lua tem uma massa que não é desprezável pois cria um campo gravítico significativamente forte quando comparado com o da Terra.

Mas a massa do 3º corpo ao igualarmos as expressões corta-se o que significa que a expressão é independente da massa do 3º corpo :wink:

Re: Como calcular a esfera de influência de um astro?

MensagemEnviado: Domingo Jan 05, 2014 12:06 am
por gonced8
Fui confirmar os cálculos e tinha um erro. Enganei-me a introduzir os dados e deu um resultado errado. Aqui está o correto:

\large F_{g Lua-Sol}=\frac{GM_{S}m_{L}}{r_{LS}^{2}}=\frac{6.67384*10^{-11}*1.9891*10^{30}*7.349*10^{22}}{(147098290000-405696000)^2}=\large 4.534*10^{20}N

Por isso, a minha teoria vai por água abaixo...
Mas agora tenho mais dúvidas:
- Porque é que a fórmula não funciona?
- Como é possível o Sol exercer (segundo os cálculos) uma força gravítica na Lua maior do que a Terra? Sendo assim não faz muito sentido a Lua continuar a orbitar a Terra...

Deves ter razão quando dizes que devemos estar a "negligenciar algo" :(