[Resolvido] - Cálculo vectorial

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[Resolvido] - Cálculo vectorial

Mensagempor totallacc em Sábado Set 28, 2013 9:51 pm

Boas...

Estou a estudar para a cadeira de Electromagnetismo que tenho no curso de Engenharia Electrotécnica e estou a começar com o cálculo vectorial e não estou a saber como fazer o seguinte:

Dado o vector \vec{a} = 3\hat{i} + 4\hat{j}, calcular \hat{a}.
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Re: Cálculo vectorial

Mensagempor e_samarta em Sábado Set 28, 2013 10:31 pm

\hat{a}=\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\Rightarrow

\hat{a}=\dfrac{3\hat{i} + 4\hat{j}}{\sqrt{3^2+4^2}}=\dfrac{3\hat{i} + 4\hat{j}}{5}=\dfrac{3}{5}\hat{i}+\dfrac{4}{5}\hat{j}.


Parece-me ser esta a resposta...
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Re: Cálculo vectorial

Mensagempor totallacc em Sábado Set 28, 2013 11:15 pm

Mas a simbologia \hat{a} não quer dizer produto vectorial?

O que fizeste foi normalizar o vector... Será a mesma coisa?

Mas pelas soluções que tenho, parece-me ser isso mesmo...

Eu estive a ver uns apontamentos e no produto vectorial fala-se em determinantes de uma matriz cujos elementos são os coeficientes de cada componente do vector dado... Por isso estou um pouco confuso...
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Re: Cálculo vectorial

Mensagempor e_samarta em Domingo Set 29, 2013 10:48 am

totallacc Escreveu:Mas a simbologia \hat{a} não quer dizer produto vectorial?

O que fizeste foi normalizar o vector... Será a mesma coisa?

Mas pelas soluções que tenho, parece-me ser isso mesmo...

Eu estive a ver uns apontamentos e no produto vectorial fala-se em determinantes de uma matriz cujos elementos são os coeficientes de cada componente do vector dado... Por isso estou um pouco confuso...


Penso que \hat{a} refere-se ao vetor unitário (versor) correspondente a \vec{a} e não me parece que produto vetorial e normalizar o vetor sejam a mesma coisa...!

O produto vetorial envolve, sim, determinantes do género:

\vec{u}\times \vec{v}=\begin{vmatrix}
\mathbf{\hat{i}}&\mathbf{\hat{j}}&\mathbf{\hat{k}}\\
u_x&u_y&u_z\\
v_x&v_y&v_z\\
\end{vmatrix}

Um determinante como este pode ser calculada utilizando a Regra de Sarrus, que funciona para matrizes 3\times 3. Nem sempre se deve dizer assim, mas acho que se pode pensar desta forma: \det=soma dos produtos das três diagonais "no sentido" do canto superior esquerdo ("noroeste") para o canto inferior direito ("sudeste") menos a soma dos produtos das três diagonais do canto superior direito ("nordeste") para o canto inferior esquerdo ("sudoeste"). Neste caso, \vec{u}\times \vec{v}=\mathbf{\hat{i}}u_yv_z+\mathbf{\hat{j}}u_zv_x+\mathbf{\hat{k}}u_xv_y-\mathbf{\hat{k}}u_yv_x-\mathbf{\hat{j}}u_xv_z-\mathbf{\hat{i}}u_zv_y.

De um modo mais simples, costuma aparecer: \vec{u}\times \vec{v}=\mathbf{\hat{i}}(u_yv_z-u_zv_y)+\mathbf{\hat{j}}(u_zv_x-u_xv_z)+\mathbf{\hat{k}}(u_xv_y-u_yv_x)


Podes já estar ao corrente do que escrevi, mas, como se pode ver, este tipo de determinantes envolve dois vetores, e neste caso só é dada informação sobre um. Não sei se as dúvidas ficaram esclarecidas, mas julgo que \hat{a} refere-se mesmo ao vetor normalizado de \vec{a}.
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Re: Cálculo vectorial

Mensagempor totallacc em Domingo Set 29, 2013 11:10 am

Obrigado por responder...

De facto sim, já estou familiarizado com os determinantes, mas como as perguntas foram feitas no âmbito do cálculo vectorial, associei a tal simbologia \hat{a} ao produto vectorial... Mas pelas soluções, realmente é normalizar o vector (vector unitário).

Obrigado.
totallacc
 
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Re: [Resolvido] - Cálculo vectorial

Mensagempor xpt0x em Domingo Set 29, 2013 5:29 pm

Quanto ao cálculo de determinantes, há uma maneira (na minha opinião) mais simples para uma matriz 3x3.
Numa matriz génerica 3x3:

A = \begin{bmatrix}
\vec{e_x} & \vec{e_y} &\vec{e_z} \\ 
 a_x& a_y  & a_z \\ 
 b_x & b_y & b_z
\end{bmatrix}

Podemos calcular o determinante "tapando" um dos versores, e calculando o determinante da matriz 2x2 que não inclui a coluna do versor que tapámos. Temos também de "alternar" os sinais de soma e subtração pelo meio.
Logo, temos:

det A = \begin{vmatrix}
\vec{e_x} & \vec{e_y} &\vec{e_z} \\ 
 a_x& a_y  & a_z \\ 
 b_x & b_y & b_z
\end{vmatrix}
=
\vec{e_x} \begin{vmatrix}
 a_y & a_z\\ 
 b_y & b_z
\end{vmatrix}
-\vec{e_y} \begin{vmatrix}
 a_x & a_z\\ 
 b_x & b_z
\end{vmatrix}
+\vec{e_z} \begin{vmatrix}
 a_x & a_y\\ 
 b_x & b_y
\end{vmatrix}

O que transforma o cálculo de um determinante de uma matriz 3x3 no cálculo de três determinantes de matrizes 2x2. :mrgreen:
Para mim é mais fácil desta maneira, mas são preferências. :P
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