Eletromagnetismo pdf 2013

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Eletromagnetismo pdf 2013

Mensagempor cdmfernandes em Quarta Maio 29, 2013 4:30 pm

Estive a (re)resolver os exercícios de eletromagnetismo da pdf de 2013, que segundo os dados do prof. Nogueira correu bastante mal a toda a gente.
Por a resolução desta prova não estar disponível no site :( , resolvi postar aqui a minha proposta de resolução e discuti-la convosco, o enunciado está disponível em http://olimpiadas.spf.pt/docs/2013/sel_teor_2013.pdf, se bem que tenho tido problemas com este link.

1. Para obter Q(r) basta imaginar uma superfície esférica com centro na origem e aplicar a lei de Gauss: EA = \frac{Q } {\epsilon_0}

Para calcular E ,que se sabe que tem direção radial, tem-se em conta que E =-\frac {dV}{dr}
Derivando a expressão ela fica: E(r) =  \frac{q e^{- \mu r}}{4\pi\epsilon_0}(\frac{1}{r^2} + \frac{\mu}{r}) (reparem que apos derivarem V(r) resulta uma expressão com sinal menos, que é cancelado pelo da expressão E =-\frac {dV}{dr} ,o que indica que o campo elétrico aponta para "fora" do centro.

Aplicando a lei de Gauss: Q= q e^{-\mu r}(1 + \mu} r)

Quando r \rightarrow 0 ,Q=q, que é a carga do ião central. Quando r \rightarrow \infty ,Q=0 o que faz sentido porque o plasma deve ser ,na globalidade, eletricamente neutro.
=
A distribuição radial de carga é a apenas a "carga por unidade de raio", ou seja, \frac{dQ}{dr}= -qe^{-\mu r}{\mu}^2 r

2.(a) Para calcular a corrente no anel utiliza-se fórmula do circuito RL: \epsilon - L\frac{dI}{dt} - RI = 0
Tendo em conta que R=0 (na realidade eu resolvi a equação diferencial e tirei o limite quando R \to 0 ,que dá a mesma coisa :wall: agora que resolvo este exercício vejo como não era assim tão difícil) e tendo em conta a lei de Faraday a expressão fica:
-\frac{d\Phi_M}{dt} - L\frac{dI}{dt} = 0 eliminando dt e integrando: \Delta{\Phi_M} = -L \Delta{I}.

Pela lei de Lenz sabemos que I é positivo no sentido anti-horário quando visto por cima, se considerarmos que um elemento de fluxo magnético é positivo se a componente perpendicular do campo magnético ao anel apontar para cima (Isto visualiza-se mais facilmente na imagem).

Sabemos que o fluxo magnético é dado pelo produtoB_z A, pois apenas a componente perpendicular contribui para este.
Desevolvendo a expressão: \Phi_M = B_0(1-az)\pi{r_0}^2 \iff \Delta{\Phi_M}=  B_0\pi{r_0}^2a(-\Delta z) (vou chamar aos parâmetros \alphae\beta, a e b para ser mais fácil escrever).

Regressando à fórmula anterior:B_0\pi{r_0}^2a(-\Delta z) = -L \Delta I e tendo em conta que no início I=0 e z=0: :I = \frac{B_0\pi{r_0}^2az}{L}

Sabendo que o anel irá cair devido à força da gravidade, z terá valor negativos, logo a corrente será também negativa, ou seja o seu sentido será horário, visto por cima.

(b) Pela lei de Laplace: \overrightarrow{dF} = I\overrightarrow{dl} \times \overrightarrow{B}, agora temos em conta apenas a componente vertical do campo magnético, a sua força num elemento magnético é radial e centrífuga ora como está é igual em módulo em todos os pontos do anel, a soma da força em todos os pontos vai ser nula. Podemos compreender isto imaginando a força num elemento de corrente no anel e a força do elemento no lado oposto do anel e veremos que elas tema mesma intensidade e sentidos opostos, logo cancelam-se, como cada elemento de força tem outro que o cancela a força devido à componente vertical do campo magnético é nula.
No caso da componente radial do campo todos os elementos de força apontam para baixo, logo a força resultante sobre o anel aponta para cima e a sua intensidade é dada por: F = \int_0^{2 \pi r_o} B_rI dl = \int_0^{2 \pi r_o} \frac{{B_o}^2 a b \pi {r_0}^3 z }{L} dl como nenhum dos elementos depende de l o integral fica F=\frac{2{B_o}^2 a b \pi^2 {r_0}^4 z }{L} como seu sentido é para cima quando a corrente é horária, vectorialmente tem-se:
\overrightarrow{F}=-\frac{2{B_o}^2 a b \pi^2 {r_0}^4 z }{L}\hat{z}.
Logo k =\frac{2{B_o}^2 a b \pi^2 {r_0}^4}{L}

(c) A equação que descreve o movimento é \frac{d^2z}{dt^2} =- g - \frac{k}{m}z a sua solução é uma e equação do tipo: z= -\frac{gm}{k}+Asin(\sqrt{\frac{k}m}}t+\phi_0) (Agradecimentos ao quarkiano Zé Teixeira por ter postado um post sobre a resolução de equações diferenciais que me ajudou a resolver esta equação).

Como a velocidade em t=0 é nula o argumento do cosseno presente na derivada de z deve ser também nulo, portanto \phi_0 = \pi/2

Como z em t=0 é 0 A deve ser igual a \frac{gm}{k}.

Logo a equação do movimento (harmónico simples) do anel é: z= -\frac{gm}{k}+\frac{gm}{k}sin(\sqrt{\frac{k}m}}t+\pi/2)

Voltando à corrente: I= \frac{B_0\pi{r_0}^2az}{L} = \frac{B_0\pi{r_0}^2agm}{kL}(-1+sin(\sqrt{\frac{k}m}}t+\pi/2)=  \frac{gm}{2B_0 b\pi {r_0}^2}(-1+sin(\sqrt{\frac{2{B_o}^2 a b \pi^2 {r_0}^4}{Lm}}t+\pi/2))

Agradecia que confirmassem os meus resultados e que corrigissem possíveis erros ou postassem dúvidas sobre os meus métodos de resolução.
cdmfernandes
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