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Mensagempor tomegouveia em Quarta Abr 25, 2012 10:17 am

Olá a todos! Venho mostrar-vos um problema que me parece interessante mas não sei se é tricky ou se sou simplesmente burro de mais para o perceber :wall:
A ideia é mostrar que se um recipiente cilíndrico contendo um liquido girar com velocidade angular uniforme \omega a superfície livre do liquido toma a forma de um parabolóide de revolução de equação y=\frac{\omega^2}{2g} r^2. Have fun.
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Re: Liquidos...

Mensagempor Tharis em Quinta Abr 26, 2012 12:46 pm

É um problema engraçado! :D Não vou colocar aqui a solução porque (e deves concordar comigo) é mais giro chegares lá por ti próprio. ;) Vou-te dar então umas pistas.

PISTA 1

PISTA 2

PISTA 3


Se não perceberes as pistas, ou tiveres alguma dúvida, mete que eu tento ajudar. ;)
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Re: Liquidos...

Mensagempor tomegouveia em Quinta Abr 26, 2012 9:00 pm

Já lá cheguei, thanks! ;)
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Re: Liquidos...

Mensagempor ruifm em Quinta Abr 26, 2012 9:41 pm

Eu voltei a encontrar esse fenonemo hoje numa aula de quimica com um agitador magnetico, onde foi bem visivel a superfície conica.

Realmente, nao entendo fisicamente porque é que isso acontece... :(
O liquido tem uma velocidade angular uniforme, mas se fosse constante em todos os planos do liquido, a superficie conica não apareceria certo?
Então isso significa que a velocidade angular é constante, mas diferente em diferentes planos do cilindro???

E as forças que actuam sobre uma particula infinitesimal de agua nao sao a impulsao, o peso e a força centripeta?
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Re: Liquidos...

Mensagempor tomegouveia em Quinta Abr 26, 2012 11:13 pm

Se fosses por forças propriamente ditas, terias de entrar com forças de tensão superficial, suponho. No entanto, há uma forma muito mais fácil de chegar lá. É só um pequeno clique que as engrenagens cerebrais têm de fazer, que têm a ver com o que é que causa o movimento do fluido (se quiseres generalizar, podes pensar no que é que causa qualquer movimento de qualquer fluido [ok, se calhar estou a ser demasiado generalista mas pronto...])

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Re: Liquidos...

Mensagempor Tharis em Sexta Abr 27, 2012 2:31 pm

@ruifm, não percebo o que queres dizer com "em todos os planos do cilindro". Em relação às forças, sim, só precisas de considerar esssas forças! :hands: Se bem que eu chamar-lhe-ia força centrífuga e não centrípeta.

@tomegouveia, equivocaste-te no spoiler 1. Imagina que tens cubo de fluido e que do lado esquerdo tens uma pressão maior que a do lado direito, isto é P_{esq} > P_{dir}. Considera também que não tens outras forças a actuar sobre o fluido. Assim, se fizeres a resultante (sentido positivo para a direita) P_{esq} A - P_{dir} A = ma \Leftrightarrow a = A\frac{P_{esq}-P_{dir}}{m} > 0. A resultante aponta para a direita, ou seja, o fluido deslocar-se-á para a direita, isto é, da maior pressão para a menor.


Já agora, na minha abordagem e aquela que as pistas que dei indicam, não precisas de entrar com forças de tensão superficial. Aliás, apenas precisas de considerar a resultante das forças do fluido em si e chamá-la um nome qualquer, tipo, Impulsão. Se depois quiserem, posso meter aqui como lá chegar.

Depois existem outras duas maneiras (que eu me lembre) de lá chegar. Uma delas tem base na energia (trabalhamos com potenciais em vez de forças) e a outra já requer um pouco de conhecimento de cálculo e não é tão intuitivo.
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Re: Liquidos...

Mensagempor ruifm em Sexta Abr 27, 2012 7:10 pm

Tharis, quando disse 'em todos os planos do cilindro', referia-me a qualquer que fosse a altura da tal particula infinitesimal no cilindro.
Assim, a velocidade angular sera igual ou diferente num plano à superficie, num plano coincidente com o fundo, ou num plano a meio do cilindro??

E porque força centrifuga? pensava que era impossivel haver uma força centripeta :S porque não tou a ver como uma força contraria à centripeta actuaria...

Em primeiro lugar, o que causa o movimento das particulas em MCU é ou nao relevante? penso que nao importa como começa...
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Re: Liquidos...

Mensagempor Tharis em Sexta Abr 27, 2012 10:44 pm

A velocidade angular é igual para qualquer partícula do fluido.

Força centrípeta porque (e isto é uma pista para resolver) se te encontrares no referencial em rotação, ou seja, no referencial cuja origem coincide com o de uma partícula qualquer, obténs uma força devido à rotação. Por exemplo, imagina-te quando fazes uma curva mais apertada no carro, sentes uma força a puxar-te para fora. No caso deste problema, tu és a partícula e ela própria sente uma força fictícia que é a força centrífuga que a tenta atirar para fora. Esta força vai ter em módulo o mesmo valor que a força centrípeta, vista do referencial da pessoa que observa o cilindro.

A razão por detrás do movimento do fluido é a sua viscosidade, porque terás uma adesão de partículas do fluido nas superfícies interiores do recipiente que serão aceleradas e que por sua vez vão acelerar o resto do fluido. Se não houvesse viscosidade, o fluido ficaria parado, já que não interagiria (a não ser a reacção normal do fundo) com o recipiente e como é óbvio, permaneceria parado. Anyway, não interessa para a resolução do problema.
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Re: Liquidos...

Mensagempor tomegouveia em Domingo Abr 29, 2012 10:20 pm

Tharis Escreveu:@tomegouveia, equivocaste-te no spoiler 1. Imagina que tens cubo de fluido e que do lado esquerdo tens uma pressão maior que a do lado direito, isto é P_{esq}>P_{dir}. Considera também que não tens outras forças a actuar sobre o fluido. Assim, se fizeres a resultante (sentido positivo para a direita) P_{esq} A-P_{dir} A=ma \Leftrightarrow a=A \frac{P_{esq} - P_{dir}}{m} . A resultante aponta para a direita, ou seja, o fluido deslocar-se-á para a direita, isto é, da maior pressão para a menor.


Se tens o sentido positivo para a direita, nao podes ter P_{esq} A-P_{dir} A! Tens de ter P_{dir} A-P_{esq} A, o que te dará uma aceleração com sinal negativo (num referencial com sentido positivo para a direita). A consequência é, então, ele mover-se para a esquerda, de onde há menos pressao para onde há mais.

Quanto à força sobre um elemento de volume do fluido, a força é claramente centrípeta, se fosse centrífuga ele não rodaria no sentido em que roda. Os "efeitos centrífugos" sobre o dito elemento de volume são devido à inércia dele, tal como no exemplo do carro que faz uma curva apertada.

Quanto à viscosidade, em nenhum passo da minha resolução a considerei. Sim, ela tem de existir, para haver "transmissão" da aceleração centrípeta do cilindro para o fluido lá dentro, mas não é necessário considerá-la.

@Tharis, falaste numa resolução com potenciais. Se depois ma puderes mostrar, ficava-te agradecido. Depois quando puseres cá a tua resolução eu ponho a minha, se for diferente.
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Re: Liquidos...

Mensagempor ruifm em Domingo Abr 29, 2012 10:27 pm

entao se o fluido fosse ideal (c. viscosidade=0) nao se formaria um vortice conico?
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Re: Liquidos...

Mensagempor Tharis em Terça Maio 01, 2012 4:21 pm

tomegouveia Escreveu:Se tens o sentido positivo para a direita, nao podes ter P_{esq} A-P_{dir} A! Tens de ter P_{dir} A-P_{esq} A, o que te dará uma aceleração com sinal negativo (num referencial com sentido positivo para a direita). A consequência é, então, ele mover-se para a esquerda, de onde há menos pressao para onde há mais.


Este desenho resolve-te a questão?

Imagem

tomegouveia Escreveu:Quanto à força sobre um elemento de volume do fluido, a força é claramente centrípeta, se fosse centrífuga ele não rodaria no sentido em que roda. Os "efeitos centrífugos" sobre o dito elemento de volume são devido à inércia dele, tal como no exemplo do carro que faz uma curva apertada.


Acho que não me fiz entender bem. Obviamente que se observares de um referencial inercial, por exemplo, da pessoa que está a realizar a experiência a força é centrípeta. No entanto, de modo a resolver o problema dá mais jeito (ainda que os passos sejam iguais) considerares o referencial da partícula e aí ela sofre uma força centrífuga.

tomegouveia Escreveu:Quanto à viscosidade, em nenhum passo da minha resolução a considerei. Sim, ela tem de existir, para haver "transmissão" da aceleração centrípeta do cilindro para o fluido lá dentro, mas não é necessário considerá-la.


Não a consideraste porque não é necessário. Apenas precisas de ter um argumento para que o fluido rode à mesma velocidade que o cilindro.

tomegouveia Escreveu:@Tharis, falaste numa resolução com potenciais. Se depois ma puderes mostrar, ficava-te agradecido. Depois quando puseres cá a tua resolução eu ponho a minha, se for diferente.


Consideremos um referencial que roda a velocidade angular \omega, isto é, que roda com o fluido. Neste referencial, a força centrífuga é conservativa e a sua energia potencial dada por:

U_{cfg} = - \int F_{cfg} dr = -\int m\omega^2r dr= - \frac{1}{2} m\omega^2 r^2 + K

Podemos colocar K=0 e obtemos U_{cfg} = - \frac{1}{2} m\omega^2 r^2.

Numa situação de equilíbrio a superfície terá toda a mesma energia, ou seja, uma superfície equipotencial. Desta maneira uma partícula não terá necessidade de se mover de um sítio para o outro, pois todos eles têm a mesma energia.

A energia potencial total (por massa) de uma partícula da superfície será:

U = U_0 + U_{grav} + U_{cfg} = U_0 + gy - \frac{1}{2} \omega^2 r^2

Esta tem que ser constante, pelo que gy - \frac{1}{2}\omega^2 r^2 = 0 \Leftrightarrow y = \frac{\omega^2}{2g}r^2. Do lado direito não tem necessariamente de estar 0, mas uma constante qualquer. Se não tivesse colocado a 0, o que ia obter era y = \frac{\omega^2}{2g}r^2 + y_0, onde y_0 é a altura do ponto mais baixo da superfície em relação a uma origem arbitrária.
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Re: Liquidos...

Mensagempor jap em Terça Maio 01, 2012 9:34 pm

Olá Tomé (e Francisco!)

Este problema está resolvido aqui no fórum

Problema da água em rotação

tendo sido colocado pela 1ª vez pelos pioneiros do fórum (em 2006!) e recolocado por novos quarkianos mais do que uma vez! :lol:

Vejam nessa thread a minha proposta de resolução "elegante" do problema usando o princípio da equivalência de Einstein - não se assustem, é bem mais fácil do que parece!
José António Paixão
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Re: Liquidos...

Mensagempor Tharis em Terça Maio 01, 2012 9:47 pm

Olá Professor! :)

Desconhecia que o problema já existia cá no fórum. Se soubesse teria redireccionado para lá, a solução que o professor propôs coincide com a que descrevi no meu último post. :)
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Re: Liquidos...

Mensagempor jap em Terça Maio 01, 2012 9:50 pm

Tharis Escreveu:Olá Professor! :)

Desconhecia que o problema já existia cá no fórum. Se soubesse teria redireccionado para lá, a solução que o professor propôs coincide com a que descrevi no meu último post. :)


Nem em mesmo já me lembrava desse thread, mas tinha uma vaga ideia de alguém ter levantado uma questão semelhante e um "search" no fórum encontrou essa thread antiga!

Obrigado pela tua ajuda aqui ao pessoal, Francisco! :friends:
O teu post está impecável! :D
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