Momento de inércia

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Momento de inércia

Mensagempor rigillescherrer em Sexta Abr 29, 2011 9:13 pm

quando eu fui tentar calcular o momento de inércia de um triângulo equilátero (considerando como eixo uma reta paralela a mediana do triângulo a uma distância d da mesma) eu cheguei a formula \displaystyle\frac {d^2 (12+L^2) m}{12} onde L é o lado e m é a massa do triângulo. Mas não tenho muita certeza se é essa mesmo :roll:
o que vocês acham?
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Re: Momento de inércia

Mensagempor rigillescherrer em Domingo Maio 01, 2011 2:37 am

já percebi que obviamente está errado :XD
se o eixo fosse a mediana do triângulo (d = 0) o momento de inércia seria 0, o que não faz muito sentido.
o método que eu usei para calcular foi esse:
em um triângulo equilátero de lado l existem n linhas igualmente espaçadas, que vão do topo a base, paralelas a mesma, que se delimitam de um lado a outro do triângulo e que tem densidade igual a \displaystyle\frac {m}{c_n} onde c_n é a soma do comprimento de todas as n linhas e m a massa do triângulo. A soma do momento de inércia das linhas no lim_{n\to\infty} deveria ser igual ao momento de inércia do triângulo.
acham que chega?
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Re: Momento de inércia

Mensagempor josepedrocf em Segunda Maio 02, 2011 11:30 pm

eu cheguei a formula \frac {d^2 (12+L^2) m}{12}


A fórmula está dimensionalmente errada.

A soma do momento de inércia das linhas no lim_{n\to\infty} deveria ser igual ao momento de inércia do triângulo.


Ora nem mais! E isso é nada mais do que integrar.

\frac {m}{c_n} onde c_n é a soma do comprimento de todas as n linhas e m a massa do triângulo


c_n a soma de todas as linhas do triângulo? Não é mais fácil escrever L, o lado do triângulo ? :lol:

Essa quantidade é o que se chama a massa por unidade de comprimento de um sólido rígido. Geralmente usa-se a letra \lambda para distribuições lineares ( \lambda = \frac{m}{L}) ou sigma para distribuições em área ( \sigma = \frac{m}{A}). Neste caso é mais fácil e mais adequado usar \sigma. Só te falta agora arranjares uma recta que defina os lados do triângulo (assumindo que o centraste num referencial com a base a coincidir com o eixo horizontal, just to make things simple :lol: )
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Re: Momento de inércia

Mensagempor rigillescherrer em Terça Maio 03, 2011 4:01 pm

josepedrocf Escreveu:
A soma do momento de inércia das linhas no lim_{n\to\infty} deveria ser igual ao momento de inércia do triângulo.


Ora nem mais! E isso é nada mais do que integrar.


Não sei muito bem como transformar esse tipo de coisa em integrais, na maioria das vezes que eu resolvo alguma coisa aparecem somatórios :lol:

acontece que não dava para escrever (de forma simples) por L a densidade linear das linhas, acho que com uma imagem fica mais facil de perceber:
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a linha pontilhada é o eixo, as linhas grossas no triângulo são as das quais eu falei.
Depois de calcular isso o problema do triângulo de Sierpinski fica fácil :D
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Re: Momento de inércia

Mensagempor josepedrocf em Terça Maio 03, 2011 5:41 pm

Ah, estava a pensar que era a inércia segundo um eixo que passasse pela mediana do triângulo... Mas mantêm-se as minhas dicas... O que tu podes agora tentar fazer é utilizar o teorema de Steiner, ou "teorema dos eixos paralelos". Este teorema diz que a inércia dum eixo paralelo a um qualquer eixo que passe pelo centro de massa dum corpo, I_c, é igual a I = I_c + MD^2, onde D é a distância entre esses dois eixos e M a massa do corpo em questão. Acho que assim fica bastante fácil aquilo que tu pretendes. :D
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Re: Momento de inércia

Mensagempor gabrielvasc em Terça Maio 03, 2011 11:03 pm

Eu cheguei a um resultado fazendo o seguinte:

- Tirei a densidade do triângulo.
- Defini uma função de "x" que descreve uma linha do triângulo para cada "x". Tomei como eixo o lado do triângulo perpendicular ao eixo de rotação.
- Integrei em infinitésimos de "x"
- Etc.. etc.. *Poof*

- Meu resultado:
\displaystyle I=\frac{mL^2}{24}

Correto?
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