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Pêndulo Cicloidal

MensagemEnviado: Quarta Mar 05, 2008 9:41 pm
por Pedro Melo
Este problema fez parte do trabalho que me foi proposto pelo professor de Análise Matemática I. Considerem um ponto material suspenso de um ponto fixo O, por um fio inextensivel e de massa desprezável.

Sejam os moldes laterais duas metades de um cicloide gerado por uma circunferência de raio R.

Imagem

A trajectória do corpo será, devido aos efeitos do enrolamento do fio nas superfícies laterais dos moldes, um arco de cicloide gerado por uma circunferência, também de raio R (não é preciso demonstrar).

Calculem o periodo de uma oscilação do corpo e verifiquem uma propriedade muito interessante deste pêndulo. Desprezem a resistência do ar.

MensagemEnviado: Quarta Mar 05, 2008 10:06 pm
por jap
Ah, um verdadeiro clássico! :D

Obrigado Pedro! :wink:

MensagemEnviado: Quarta Mar 05, 2008 10:07 pm
por Bruno Oliveira
O período de oscilação, sendo este denominado T, é:

T=2\pi\sqrt{\frac{4R}{g}}?

Se for eu explicarei o raciocínio...

MensagemEnviado: Quarta Mar 05, 2008 10:18 pm
por jap
Bruno Oliveira Escreveu:O período de oscilação, sendo este denominado T, é:

T=2\pi\sqrt{\frac{4R}{g}}?

Se for eu explicarei o raciocínio...


Sim, senhor Bruno Oliveira Huygens, e o mais giro é que o período é rigorosamente independente da amplitude, o que não acontece com um pêndulo "normal". :lol:

Agora vamos lá a ver quem é que consegue a demonstração mais gira, e mais bem explicada, sem grandes digressões matemáticas! :P

Está aberto o desafio! :wink:

MensagemEnviado: Quarta Mar 05, 2008 10:22 pm
por Bruno Oliveira
Bem, se for para ser sem grandes digressões matemáticas direi que não me safo.. aliás tive mesmo que ir várias vezes há wikipédia, pois se neste forum aprendi o que é a derivada, tive de ir ver o que são integrais, o que por ainda não dominar tão bem, me irá levar ás digressões matemáticas e dará muito trabalho a explicar... e sem falar nos esquemas que fiz... :? que não consigo pôr aqui, mas posso tentar amanhã ao fim da tarde, que agora infelizmente tenho de me ir deitar que vou ter teste amanhã e não estudei mesmo nada de nada...enfim, também é de inglês..

MensagemEnviado: Quarta Mar 05, 2008 10:24 pm
por hexphreak
Como é que conseguiste fazer essas coisas todas em 20 minutos? :shock:

Assim de repente, parece-me bastante possível um tratamento simples com as leis de Newton (embora me sinta tentado a experimentar lagrangianos...). Mas pode ser que pense numa solução mais original :D

MensagemEnviado: Quarta Mar 05, 2008 11:14 pm
por Pedro Melo
É isso mesmo. Não te preocupes com as digressões matemáticas... eu só usei as fórmulas do arco duplo, mudanças de variável e equações diferenciais. Alias tinha de o fazer já que era a cadeira de Análise I. Isso e mais uns teoremas... deu uma trabalheira desgraçada. Mas foi giro no integral final ver tudo a cortar e ter de calcular a primitiva de 2 :evil: . Ia atirando o papel ao ar.

MensagemEnviado: Quinta Mar 06, 2008 6:27 pm
por hexphreak
Bem, então aqui vai a minha resolução "clássica" :)

Primeiro, a ciclóide tem equações paramétricas:

x = R(\theta + \sin \theta)
y = R(1 + \cos \theta)

Em que \theta é o ângulo do qual a circunferência geradora foi rodada. Como este ângulo está definido em relação ao centro da circunferência, não é um bom ângulo para usarmos no problema, mas voltarei a isso mais tarde :wink:

Para podermos aplicar a lei fundamental da dinâmica ao pêndulo cicloidal, precisamos de saber o espaço que ele percorre, e é provavelmente esta a razão pela qual o problema aparece em A.M. I. Calculemos então:

\bigg( \frac{ds}{d\theta} \bigg)^2 = \bigg( \frac{dx}{d\theta} \bigg)^2 + \bigg( \frac{dy}{d\theta} \bigg)^2

Temos \frac{dx}{d\theta} = R + R \cos \theta e \frac{dy}{d\theta} = -R \sin \theta, logo (lembrando que 1 + \cos \theta = 2\cos^2 \frac{\theta}{2}):

\frac{ds}{dt} = 2R\cos \frac{\theta}{2}

E assim, encontramos por integração o comprimento da ciclóide:

s = \int 2R \cos \frac{\theta}{2} dt = 4R \sin \frac{\theta}{2}

Bem, em princípio puderíamos partir imediatamente para a Física, mas convém utilizar um ângulo diferente como coordenada preferencial. E se fosse o ângulo que a tangente à curva faz com a horizontal, \phi? Vejamos:

\bigg( \frac{dy}{dx} \bigg)^2 = \frac{2R - y}{y}

Logo:

\tan^2 \phi = \frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta} \Leftrightarrow \phi = \frac{\theta}{2}

O que nos dá bastante jeito; basta agora substituir e temos s = 4R \sin \phi. E finalmente, a Física do problema! A componente radial do peso é equilibrada pela tensão no fio; não precisamos de contar com a reacção normal dos arcos já que está incluída na restrição do movimento, e temos apenas:

m\ddot s = mg \sin \phi \Leftrightarrow \ddot s + \frac{g}{4R}s = 0

Mas conhecemos bem esta equação diferencial: é a equação do MHS! :D Vem então que o período é:

T = 2\pi \sqrt{\frac{4R}{g}}

Admitidamente, esta não é uma explicação das mais compreensíveis, mas de momento não vejo grandes alternativas a calcular o comprimento da ciclóide :?

MensagemEnviado: Quinta Mar 06, 2008 7:44 pm
por Pedro Melo
Obrigado. Nunca me lembrei desta. Consegue-se mesmo através de cálculos chegar ao valor obtido pelo Bruno. Só é pena não saber escrever em Latex senão punha a minha resposta aqui. Alguém tem algum tutorial ou assim?

MensagemEnviado: Quinta Mar 06, 2008 8:19 pm
por Bruno Oliveira
Bem, e como o henrique se adiantou com os cálculos eu colocarei aqui um link para um site onde vou colocar uma simulação de uma ciclóide e posteriormente de um pêndulo cicloidal...
Aviso que estas simulações serão feitas em excel e vou lá colocar também um problema do teste intermédio de matemática A do 11º ano e ainda..QED de Richard P. Feynman..espero que gostem!!

MensagemEnviado: Quinta Mar 06, 2008 9:40 pm
por jap
Agradeço ao Henrique a sua solução detalhada! :wink:

A história da "descoberta" (invenção!) do pêndulo cicloidal por Huygens é muito curiosa. Huygens foi contemporâneo de Newton e por ele apelidado de "Summus Ingenius" - e foi, de facto, um físico genial. :D


Vejam aqui esta *excelente* apresentação de um colega brasileiro sobre o assunto:

Christiaan Huygens e o pêndulo cicloidal.

Valeu a pena a leitura, não é verdade? :wink:

MensagemEnviado: Quinta Mar 06, 2008 10:02 pm
por hexphreak
Muitíssimo interessante :D Já conhecia alguma coisa da vida de Huygens, mas gostei bastante da biografia completa.

A demonstração é mesmo à la séc. XVII :lol: Muita geometria, mas é bonita. A tal conjectura de que "as perpendiculares à curva M são tangentes à curva L" era a outra maneira pela qual estava a pensar resolver (intuitivamente, não demonstrei nada), mas acabei por não ter tempo...

MensagemEnviado: Quinta Mar 06, 2008 10:46 pm
por jap
Pedro Melo Escreveu:Obrigado. Nunca me lembrei desta. Consegue-se mesmo através de cálculos chegar ao valor obtido pelo Bruno. Só é pena não saber escrever em Latex senão punha a minha resposta aqui. Alguém tem algum tutorial ou assim?


Pedro,

Escrever em \LaTeX é muito fácil! :lol:

Basta escreveres a expressão e colocá-la entre Tex-tags (seleccionas a expressão e clicas no ícone Tex em cima, ou escreves tu mesmo os Tex-tags). Exemplo

Código: Seleccionar Todos
[tex]x^2[/tex]



será visualizado como

x^2

e

Código: Seleccionar Todos
[tex]\vec F = m \vec a[/tex]


dará

\vec F = m \vec a

Uma dica: se colocares o cursor sobre qualquer uma das figuras com expressões geradas por \LaTeX irás visualizar o código que gerou a expressão.

Alguém tinha em tempos postado um link para um tutorial de iniciação ao \LaTeX. Sabem onde ele pára? :wink:

MensagemEnviado: Quinta Mar 06, 2008 10:55 pm
por hexphreak
Cá está ele: LaTeX Tutorial [PDF] :)

MensagemEnviado: Sexta Mar 07, 2008 6:06 pm
por Bruno Oliveira
Como prometido, aqui está o meu novo site com algumas aplicações feitas em excel usando macros. Se tiverem qualquer questão, não hesitem em colocá-la :D
http://olivbruno8.googlepages.com/