Corpos celestes

por **pmp** em Domingo Nov 26, 2006 12:36 am

8 vezes ainda é muito :shock:

. Deixa-me pensar mais um pouco e ver se detecto algum erro no raciocínio, para não vir com ele errado.

por **jap** em Domingo Nov 26, 2006 12:38 am

Bom ambos estão perto, em ordem de grandeza não está mal, mas...

a resposta correcta é 65 dias ou $5,6\times\rm~10^6 segundos$ , como preferirem. Bom, mais exactamente 64 dias e 12 horas até morrermos todos assados no inferno.. :wink:

por **jap** em Domingo Nov 26, 2006 12:59 am

Relembro o desafio:

os computer-experts de serviço que façam uma simulação computacional (em C, scheme, python, whatever) - desafio-vos a obterem o resultado acima, com boa precisão!

Bastam poucas linhas de código...
:lol:

por **Andre França** em Domingo Nov 26, 2006 1:02 am

Temos que considerar 1/4 ou 1/2 do período? Considerei 1/4 e deu-me 2,8*10^6, se calhar cometi algum erro algures nas contas..

A expressão que coloquei anteriormente resulta desta que me parece dimensionalmente correcta:

$t = \sqrt{\frac{L(L+1\text{m})(2L+1\text{m})}{3G(m_1 + m_2)}}$

Para chegar a esse resultado considerei que L, em metros, era um número inteiro e que para segmentos de 1 metro a aceleração era constante aí. Usei também o facto de que a soma dos n primeiros quadrados perfeitos é n(n+1)(2n+1)/6. Não sei se essas informações são suficientes para divisar o meu raciocíonio, que talvez esteja demasiado fantasioso.

por acaso está muito interessante o método, e ficou uma aproximação muito boa [só nos roubaste pouco mais que alguns 2 x 10^6 segundos de vida

]

por **pmp** em Domingo Nov 26, 2006 11:40 am

Já que o meu resultado não está tão longe quanto isso vou expor o meu raciocinio.

Seja

a aceleração com que os corpos percorrem em conjunto a distância

. Essa aceleração depende de

a distância entre os corpos, e é:

$a(d) = \frac{G(m_1+M_2)}{d^2}$

$t^2 =\frac{2x}{a}$ .

Considerando segmentos de 1 metro vem:

$t^2 =\frac{2}{a}$

$t^2= \frac{2}{a_{no primeiro metro}} + \frac{2}{a_{no segundo metro}} + ... +\frac{2}{a_{no Ãºltimo metro}}$

Considerando a distância entre os corpos no primeiro metro igual a

, no segundo igual a L-1

...

$t^2= \frac{2L^2}{G(m_1+m_2)}} + \frac{2(L+1)^2}{G(m_1+m_2)}} + ... +\frac{2(1)^2}{G(m_1+m_2)}}$

Somando os numeradores e pondo o

em evidência:

$t^2= \frac{2(L^2+(L+1)^2+...+1^2)}{G(m_1+m_2)}}$

Se o

for inteiro (L^2+(L+1)^2+...+1^2)

é a soma dos primeiros

quadrados perfeitos que é igual a (L)(L+1)(2L+1)/6

.

Substituindo na expressão anterior:

$t^2= \frac{L(L+1)(2L+1)}{3G(m_1+m_2)}}$

$t= \sqrt{\frac{L(L+1)(2L+1)}{3G(m_1+m_2)}}}$

Se

for considerável os 1's

a somar na expressão são insignificantes.

$t= \sqrt{\frac{2L^3}{3G(m_1+m_2)}}}$

EDIT: Acabei de me aperceber de um erro fatal. No segundo metro e seguintes há velocidade inicial.

por **vbmaster** em Domingo Nov 26, 2006 1:03 pm

'Tão mas a fórmula da gravitação universal não é:

Imagem

Vezes, em vez de mais.

E além disso, pela massa da terra, o sol também deverá mover-se em direcção à terra, o que faz com que ambos percorram um pouco menos do que o L inicial, right?

por **pmp** em Domingo Nov 26, 2006 1:09 pm

Sim e a aceleração de cada corpo é Gm_2/d^2

para o corpo 1 e Gm_1/d^2

para o corpo 2. Somando dá G(m_1+m_2)/d^2

. Porque para facilitar as coisas procurei a aceleração com que o espaço é percorrido e não o percurso de cada corpo individualmente. Não sei se fui compreensível...

De qualquer modo, a velocidade inicial estragou tudo.

por **Zé Teixeira** em Domingo Nov 26, 2006 2:32 pm

Repara que se fosse assim tão fácil, poderíamos simplesmente definir unidades de comprimento de tamanho arbitrariamente pequeno e teríamos a precisão que quiséssemos.

Lembrem-se, têm de procurar outra aproximação ao problema.

por **Andre França** em Domingo Nov 26, 2006 4:29 pm

vbmaster Escreveu:'Tão mas a fórmula da gravitação universal não é:

E além disso, pela massa da terra, o sol também deverá mover-se em direcção à terra, o que faz com que ambos percorram um pouco menos do que o L inicial, right?

Nhé, por algum motivo Deus inventou as aproximações

por **Real** em Domingo Nov 26, 2006 4:34 pm

A única aproximação que é necessária é considerar que os planetas são pontuais. Portanto, que toda a massa está concentrada num ponto. Esta aproximação é válida desde que

seja muito maior que as dimensões de cada planeta, como referi no enunciado!

por **vbmaster** em Domingo Nov 26, 2006 11:47 pm

É impressão minha ou a simulação computacional precisa de um Milipeia para ser calculada com boa precisão?...

EDIT: Pedro, não me parece que a velocidade inicial interesse... isso era o mesmo que dizer que para prever o tempo de queda de um objecto lançado do cimo da Torre Eifel, tinhas de somar os segmentos de um metro de toda a sua queda considerando a velocidade que ele já tinha, menos no momento de largada (em que a velocidade é nula).

por **Zé Teixeira** em Segunda Nov 27, 2006 12:10 am

vbmaster Escreveu:É impressão minha ou a simulação computacional precisa de um Milipeia para ser calculada com boa precisão?...

EDIT: Pedro, não me parece que a velocidade inicial interesse... isso era o mesmo que dizer que para prever o tempo de queda de um objecto lançado do cimo da Torre Eifel, tinhas de somar os segmentos de um metro de toda a sua queda considerando a velocidade que ele já tinha, menos no momento de largada (em que a velocidade é nula).

E de facto terias de fazer isso, se a aceleração não fosse constante... Aliás, se a aceleração variasse de forma esquisita, uma vez que se variasse de acordo com uma função conhecida ainda poderias determinar a posição em cada instante.

por **jmgb** em Segunda Nov 27, 2006 1:08 am

Olá pessoal! Estou de volta, depois de uma verdadeiramente alucinante viagem até ao Norte, com problemas nas estradas e linhas de comboio a tornar a já longa viagem numa autêntica odisseia! [fim de offtopic]

O programa que eu fiz, há já algum tempo, não foi exactamente para resolver este problema, mas sim um (bem) mais simples: o estudo da queda de um objecto na Terra, de uma altura definida pelo utilizador, tendo em conta a variaçao da aceleraçao ao longo do tempo. O output está organizado de modo interessante, e a ideia que serve de base à resoluçao deste problema (a segmentação do percurso) é a mesma que serve de base à resolução do problema aqui postado. No entanto, o programa não tem em conta a variação da posição da Terra (isto é, o objecto não pode ter uma massa muito elevada relativamente à da Terra, para que a previsão ter sentido), nem quaisquer considerações relativistas... Se quiserem (e tiverem tempo), divirtam-se a melhorá-lo!

Aqui está a minha versão, que baptizo de v3.14: http://jmgb.pastebin.com/833580

Abraço.

por **jap** em Segunda Nov 27, 2006 2:45 pm

vbmaster Escreveu:É impressão minha ou a simulação computacional precisa de um Milipeia para ser calculada com boa precisão?...
(...)

Nem tanto! :shock:

Um programazito de meia duzia de linhas não demora mais do que 1 segundo a encontrar a resposta com a precisao de 1E-4 no meu portatil... :lol:

Fiz o meu programazito em python; o joão gama fará (adaptará) um programa em C; fazes tu um em scheme? Assim podemos comparar os três calculos...com o resultado analítico, que tambem é possivel calcular..., mas é "tricky"... :roll:

por **vbmaster** em Segunda Nov 27, 2006 6:10 pm

jap Escreveu:
vbmaster Escreveu:É impressão minha ou a simulação computacional precisa de um Milipeia para ser calculada com boa precisão?...
(...)

Nem tanto!

Um programazito de meia duzia de linhas demora apenas alguns segundos a encontrar a resposta com a precisao de 1E-4 no meu portatil...

Ja fiz o meu em python; o joao fara (adaptara) um programa em C; fazes um em scheme? Assim podemos comparar os tres calculos...com o resultado analitico, que tambem e possivel calcular...

Vamos lá ver se consigo fazer algo ainda hoje... com teste de matemática amanhã...

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