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Fogo!

MensagemEnviado: Terça Maio 01, 2007 1:00 pm
por jap
Uma mangueira de incêndios de massa M e comprimento L está enrolada num rolo de raio R << L. Ao sinal de alarme, um bombeiro pega numa extremidade da mangueira e dá um forte empurrão ao rolo, que começa a desenrolar-se com velocidade angular inicial \omega_0.

Imagem


Quanto tempo demora a mangueira a desenrolar-se completamente?


PS - Este problema é fogo! :P Comecem por reparar que a força que o bombeiro exerce sobre a mangueira aponta para a esquerda, enquanto que o CM do rolo está a acelerar para a direita :shock: - chegarão a esta perturbadora conclusão se pensarem um pouco no problema :D

MensagemEnviado: Terça Maio 01, 2007 6:00 pm
por manuelmarque
Há aqui algum binário de forças? Dá ideia que o tempo que a mangueira demora a desenrolar tem um crescimento não linear, dado que depende do momento de inércia, que é variável.

Como o momento angular se conserva (I guess), a velocidade angular aumenta. Mas depois, como o raio também diminui, a velocidade linear não deverá variar, e assim contradigo-me a mim mesmo :shock:

Dá ideia de que é precisa uma equação diferencial para resolver isto... :P

MensagemEnviado: Terça Maio 01, 2007 9:06 pm
por jap
manuelmarque Escreveu:(...)
Dá ideia de que é precisa uma equação diferencial para resolver isto... :P


Bom, este problema é tricky :crazy: e há várias maneiras de o resolver, a mais simples que eu conheço não envolve nenhuma equação diferencial...

O resultado final é muito simples e, excepcionalmente, vou antecipar a solução :shock:

T = \frac{2}{3}\frac{L}{\omega_0 R}.


Vamos lá a ver se alguém consegue demonstrar este resultado! :P

MensagemEnviado: Segunda Maio 14, 2007 6:51 pm
por pmp
Finalmente cheguei à solução :D , mas assumi que a energia cinética do rolo se conserva, o que é lógico se ele rolar sem deslizar, e desprezei a variação de energia potencial do centro de massa :o . Se estas premissas estiverem certas, coloco aqui a minha solução.

MensagemEnviado: Segunda Maio 14, 2007 6:53 pm
por jap
pmp Escreveu:Finalmente cheguei à solução :D , mas assumi que a energia cinética do rolo se conserva, o que é lógico se ele rolar sem deslizar, e desprezei a variação de energia potencial do centro de massa :o . Se estas premissas estiverem certas, coloco aqui a minha solução.


Sim, essas duas permissas são válidas! :D

Então coloca aqui a tua solução Pedro - estamos curiosos para saber como desenrolaste a mangueira, oops, queria dizer o problema!
:lol:

MensagemEnviado: Segunda Maio 14, 2007 7:17 pm
por pmp
Começo por calcular a energia cinética inicial, que é a soma das energias cinéticas associadas ao movimento de translacção e ao movimento de rotação,

E_c=\frac{1}{2}Mv_0^2+\frac{1}{2}I\omega_0^2

Considerando que a mangueira rola sem deslizar, \omega=v/r^2 e atendendo a que o momento de inergia de um disco de raio r é I=\frac{1}{2}Mr^2.

A energia cinética inicial é:

E_c=\frac{3}{4}Mv_0^2

A energia cinética conserva-se pelo facto de a mangueira rolar sem deslizar. (Porquê? ehe :D )

Então,

E_c=E&#39;_c, em que E&#39;_c é a energia cinética num momento posterior.

(Aqui reparei que calcular a energia cinética inicial não era preciso, pois o factor 3/4 corta)

Mv_0^2=mv^2

Podemos escrever a massa m quando o rolo da mangueira percorreu uma distância x, como m=M-\frac{M}{L}x=M(1-\frac{x}{L})

Substituindo:

Mv_0^2=M(1-\frac{x}{L})v^2

v_0^2=(1-\frac{x}{L})v^2

Ou seja, após percorrer uma distância x, a velocidade do centro de massa do rolo v é:

v=\frac{v_0}{\sqrt{1-\frac{x}{L}}}

Mas v=\frac{dx}{dt}.

Isto é:

\sqrt{1-\frac{x}{L}}dx=v_0dt :?

Integramos ambos os membros entre os limites que nos interessam:

\int^L_0\sqrt{1-\frac{x}{L}}dx=\int^T_0v_0dt

\frac{2}{3}L=v_0T

Mas v_0=\omega_0R, vindo:

T = \frac{2}{3}\frac{L}{\omega_0 R}

:shock:

MensagemEnviado: Segunda Maio 14, 2007 7:22 pm
por jap
Palavras para quê? :roll:

Absolutamente perfeito! :D

Parabéns, Pedro :hands:

Ah, e já agora explica o parodoxo: a aceleração do CM da mangueira aponta para a direita e a força que se exerce sobre a mangueira aponta para a esquerda. Como é que isto é possível? :evil:

MensagemEnviado: Segunda Maio 14, 2007 8:17 pm
por pmp
Se atendermos à 2ª lei de Newton:

\sum F=\frac{d(mv)}{dt}=m\frac{dv}{dt}+v\frac{dm}{dt}, ou seja,

m\frac{dv}{dt}=\sum F-v\frac{dm}{dt}

Ou seja, o sentido da aceleração não é unicamente determinado pelo sentido da força resultante. :D Depende também de v\frac{dm}{dt}.

MensagemEnviado: Segunda Maio 14, 2007 8:21 pm
por jap
pmp Escreveu:Se atendermos à 2ª lei de Newton:

\sum F=\frac{d(mv)}{dt}=m\frac{dv}{dt}+v\frac{dm}{dt}, ou seja,

m\frac{dv}{dt}=\sum F-v\frac{dm}{dt}

Ou seja, o sentido da aceleração não é unicamente determinado pelo sentido da força resultante. :D Depende também de v\frac{dm}{dt}.


Isso, mesmo :hands:

Por essa razão é que a forma mas geral da 2ª lei de Newton não é

\vec F = m \vec a

mas sim

\vec F =\frac{d\vec p}{dt}.

Para além do mais, esta 2ª forma da lei de Newon está de acordo com a forma como ela a apresentou originalmente nos Principia e tem uma outra vantagem: é válida para sistemas relativistas, enquanto \vec F = m \vec a já não. :D