Choques em cadeia

Neste arquivo iremos colocar os problemas já resolvidos (não são problemas "mortos" porque a discussão pode continuar a qualquer altura!)

Mensagempor spmatos_174 em Quinta Dez 13, 2007 11:49 am

Oh, Obriagada Manel!

Espero bem que os posts dos quarkianos cativem não só quem nos "visite" através do google... Podemos ser mais ambiciosos! :D
"A Física é tão linda que até dá uma coisa no coração quando se escreve uma equação física profunda." [Um professor de Física da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa] =)
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Mensagempor hexphreak em Quinta Dez 13, 2007 5:18 pm

Qualquer dia estamos a editar o "Manual de Física Quarkiana", ou o "Física Quarkiana 101" :wink: Reunindo todas as explicações e curiosidades que por aqui andam... precisávamos era de mais que um volume! :D
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Mensagempor manuelmarque em Quinta Dez 13, 2007 7:42 pm

hexphreak Escreveu:Qualquer dia estamos a editar o "Manual de Física Quarkiana", ou o "Física Quarkiana 101" :wink: Reunindo todas as explicações e curiosidades que por aqui andam... precisávamos era de mais que um volume! :D


Hehe... nisso tens razão ;-)

Podíamos, até era uma coisa engraçada. E depois o dinheiro da venda dos livros revertia para os prémios das próximas olimpíadas. Pode ser que, com prémios mais "cativantes" (leia-se: como os das olimpíadas de Matemática :twisted: ), aumente o número de participantes nas olimpíadas, quem sabe? :roll: (estou a apresentar os piores argumentos para se participar nas Olimpíadas, mas já que os outros não resultam... :P)

BTW Henrique: já estás inscrito nas olimpíadas, não? Não sei qual é o prazo limite... eu no meu ano ia-o passando por pouco :roll:
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Mensagempor hexphreak em Quinta Dez 13, 2007 7:46 pm

manuelmarque Escreveu:Podíamos, até era uma coisa engraçada. E depois o dinheiro da venda dos livros revertia para os prémios das próximas olimpíadas. Pode ser que, com prémios mais "cativantes" (leia-se: como os das olimpíadas de Matemática :twisted: ), aumente o número de participantes nas olimpíadas, quem sabe? :roll: (estou a apresentar os piores argumentos para se participar nas Olimpíadas, mas já que os outros não resultam... :P)

Excelente ideia :D Já que os matemáticos têm os bancos por trás, os físicos têm que se ajustar :twisted:

manuelmarque Escreveu:BTW Henrique: já estás inscrito nas olimpíadas, não? Não sei qual é o prazo limite... eu no meu ano ia-o passando por pouco :roll:

Bem, o prazo de inscrição das escolas é até 31 de Janeiro, não sei se a minha já está inscrita :roll: Tenho de perguntar amanhã ao professor.
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Mensagempor jap em Sexta Dez 14, 2007 12:38 am

Bem, e há mais novidades sobre este problema?

Alguém avançou um pouco mais? :roll:
Acho que já têm nesta thread tudo o que é necessário para encontrar a resolução... :P
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Mensagempor hexphreak em Sexta Dez 14, 2007 9:31 pm

Não avancei absolutamente nada :( O meu grande problema parece ser a descontinuidade das colisões: as velocidades modificam-se em passos discretos, em vez de se portarem bem... :roll: O que eu queria fazer era determinar o ponto em que a velocidade do bloco maior seria zero, mas não há sequer a garantia de que isso aconteça - e chegamos a uma desigualdade.
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Mensagempor jap em Domingo Dez 16, 2007 7:04 pm

Vou então resolver este problema, uma vez que parece que ninguém conseguiu chegar à solução :? .

Na realidade, vou propor dois métodos de resolução:!:, o primeiro mais simples mas usando um pequeno truque, o segundo mais trabalhoso, considerando uma a uma a sequência das colisões...

Vejamos então o primeiro método.

Se aplicarem as leis da conservação da energia e do momento linear ao choque do bloco com a partícula (vou chamar "partícula" ao corpo de menor massa) poderão obter a velocidade do bloco e da partícula depois da colisão, em função das velocidades antes da colisão.

A solução geral está na Wikipedia, que podem verificar resolvendo o sistema das 2 equações (energia e momento), o que conduz a:

\vec V^\prime = \frac{M-m}{M+m}\vec V + \frac{2m}{M+m}\vec v

\vec v^\prime = \frac{2M}{M+m}\vec V + \frac{m-M}{M+m}\vec v

Resultam destas equações duas conclusões importantes. Se subtraírem a segunda equação da primeira, obterão:

\vec V^\prime-\vec v = - (\vec V - \vec v),

o que significa que uma colisão elástica inverte, simplesmente, as velocidades relativas dos dois corpos. :D

A outra conclusão é que, para o caso em que M >> m, obtemos, desprezando pequenos termos em m/M ,que

\vec v^\prime  \sim 2\vec V -\vec v

ou seja, a velocidade da partícula depois de uma colisão elástica é aproximadamente o dobro da velocidade do bloco menos o vector velocidade da partícula antes da colisão. Notem que estas relações são vectoriais. Se designarmos o módulo da velocidade da partícula antes de uma colisão por v (ela está a deslocar-se para a esquerda) e o módulo depois da colisão por v' (depois da colisão desloca-se para a direita), então

\vec v^\prime  \sim 2\vec V -\vec v

significa, na realidade, e em termos dos módulos das velocidades, que

v^\prime \sim 2 V - (-v) \sim 2V + v


ou seja:

em cada colisão, a partícula soma ao módulo da velocidade que tinha antes da colisão o dobro do módulo da velocidade do bloco. Estão a perceber até aqui?

:roll:
última vez editado por jap s Domingo Dez 16, 2007 7:08 pm, editado 1 vez no total
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Mensagempor hexphreak em Domingo Dez 16, 2007 7:08 pm

Sim, aliás já tinha feito praticamente tudo o que está aí :roll:
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Mensagempor jap em Domingo Dez 16, 2007 7:11 pm

hexphreak Escreveu:Sim, aliás já tinha feito praticamente tudo o que está aí :roll:


Certo, por isso mesmo é que eu disse que tinhas praticamente achado a solução! Fizeste a parte mais difícil, só faltou juntar tudo para chegar ao resultado final! :D
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Mensagempor jap em Domingo Dez 16, 2007 7:24 pm

Vamos então prosseguir. Vou começar pelo método mais trabalhoso, aquele que não usa o "truque".

Vou indexar cada uma das sucessivas colisões do bloco com a partícula por um índice k = 1,2,3,\dots, onde k = 1 representa a primeira colisão do bloco com a patícula em repouso. Vou ainda designar de v_k o módulo da velocidade da partícula antes da colisão k e v^\prime_k o módulo da velocidade da partícula depois da colisão k

Temos assim que v_1 = 0 e, depois da 1ª colisão, o módulo da velocidade da partícula é

v^\prime_1 \sim v_1 + 2V_0 \sim 2V_0.


A que distância da parede vai ocorrer a 2ª colisão? Não é difícil calculá-la. Seja t o tempo que medeia entre a 1ª e a 2ª colisão. O bloco move-se, após a colisão, com praticamente a mesma velocidade que tinha antes, V_0. Seja x_2 a distância a que ocorre a 2ª colisão. É fácil ver que

L - x_2 = V_0 t
L+x_2 = 2V_0 t

de onde se conclui que x_2 = L/3.

Então, podemos dizer que x_1 = L e x_2 = L/3. Podemos continuar a fazer as contas assim, colisão após colisão, e completar a seguinte tabela.

\begin{tabular}{c|c|c|c|c}\hline
k & x_k & v_k & v^\prime_k & x_{k+1}\\ \hline
1 & L & 0 & 2V_0 & L/3 \\
2 & L/3 & 2V_0 & 4V_0 & L/5\\
3 & L/5 & 4V_0 & 6V_0 & L/7\\
\ldots & \ldots & \ldots \ldots & \ldots \\
k & L/(2k-1) & 2(k-1)V_0 & 2kV_0 & L/(2k+1) \\
\hline
\end{tabular}

Vamos agora considerar a situação em que ocorreram muitas colisões e, portanto, a distância x atingiu o valor mínimo.

Nesta situação, olhando para a tabela, temos que

v^\prime_{\rm min}\,x_{\rm min} = \lim_{k \to \infty} v^\prime_k\,x_k \sim \lim_{k \to \infty} 2kV_0 \times \frac{L}{2k-1} \sim V_0 L

Mas a velocidade da partícula na posição em que o bloco está à distância mínima da parede é fácil de calcular! Basta usar a nossa intuição física. O bloco atinge a posição mais próxima da parede quando transfere para a partícula toda a sua energia cinética inicial:

\frac{1}{2}MV_0^2 = \frac{1}{2}mv^\prime^2_{\rm min},

ou seja
v^\prime_{\rm min} = V_0 \sqrt{\frac{M}{m}}.

Subsituindo acima vem, finalmente, a resposta procurada:

x_{\rm min}  \sim \frac{V_0 L}{v_{\rm min}}\sim L \sqrt{\frac{m}{M}}
:wink:
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Mensagempor hexphreak em Domingo Dez 16, 2007 7:38 pm

So painfully obvious... :cry: O meu problema foi não ver as relações L - x = V_0 t e L+x = 2V_0 t...


P.S.: A última "casa" da tabela devia ser L/(2k+1) :)
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Mensagempor jap em Domingo Dez 16, 2007 7:45 pm

hexphreak Escreveu:So painfully obvious... :cry: O meu problema foi não ver as relações L - x = V_0 t e L+x = 2V_0 t...


P.S.: A última "casa" da tabela devia ser L/(2k+1) :)


Obrigado, já corrigi. :wink:

É claro que se pode chegar mais facilmente ao resultado, usando um truque que
tu, aliás, já tinhas também apontado:

numa colisão elástica os dois corpos trocam de velocidades relativas! :D

Este truque permite justificar (vá lá, façam as contas!) que o produto da distância x_k a que ocorre a colisão k pela diferença dos módulos das velocidades da partícula e do bloco após essa colisão é uma constante.

x_k (v^\prime - V^\prime) = \rm const.

É trivial calcular o valor da constante. Basta considerar a 1ª colisão, onde x_1 = L, v^\prime_1 \sim 2V_0 e V \sim V_0:

L (2V_0 - V_0) = LV_0.

então

x_k (v^\prime - V^\prime) = LV_0.

Como v^\prime_{\rm min} = V_0\sqrt{\frac{M}{m}} e V^\prime_{\rm min}= 0 (ver acima), conclui-se imediatamente que

x_{\rm min} \sim L \sqrt{\frac{m}{M}}.

Ora aí está! :P
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Re: Choques em cadeia

Mensagempor miguel_amaral em Sexta Out 22, 2010 9:32 am

Nas últimas deduções não é v'_max que se pretende?
Participem e inscrevam-se numa experiência de convívio entre físicos e de ciência de topo única!
ENEF 2011 -> http://algol.fis.uc.pt/quark/viewtopic.php?f=4&t=2093&p=25810#p25810
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Re: Choques em cadeia

Mensagempor jap em Segunda Nov 15, 2010 11:28 pm

miguel_amaral Escreveu:Nas últimas deduções não é v'_max que se pretende?


Na minha notação v'_min significa a velocidade a que corresponde a distância mínima, não significa a velocidade mínima (antes pelo contrário!).

OK, a minha escolha de notação não é a mais feliz... 8)
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