Problema do Contrabandista

Neste arquivo iremos colocar os problemas já resolvidos (não são problemas "mortos" porque a discussão pode continuar a qualquer altura!)

Mensagempor pmp em Quinta Nov 16, 2006 6:54 pm

Ei João! Obrigado pelo gráfico. :D Que vontade de aprender programação. :lol:

Como calculaste o k? O programa fornece?
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Mensagempor jmgb em Quinta Nov 16, 2006 7:00 pm

Olá Pedro!

Introduzi o K no programa (manualmente), com valor igual ao nº de ouro. O programa não resolve o problema em si, apenas permite alertar para o erro que vocês estavam a cometer ao abordar o problema como se a trajectória do barco da polícia fosse uma circunferência.

Como o Prof. Paixão disse, falta agora provar analiticamente que K=(1+sqrt(5))/2. Mas penso que talvez seja mais fácil, agora que temos mais alguns dados para encarar a questão...

Quanto à vontade que tens de aprender programação, acho que é muito boa (até talvez saudável!). Os computadores são muito úteis para resolver problemas com recurso à sua "força bruta", isto é, à sua elevada velocidade de processamento de dados...


Abraço.
João Gama
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Mensagempor pmp em Quinta Nov 16, 2006 7:06 pm

Introduzi o K no programa (manualmente), com valor igual ao nº de ouro. O programa não resolve o problema em si, apenas permite alertar para o erro que vocês estavam a cometer ao abordar o problema como se a trajectória do barco da polícia fosse uma circunferência.


Ahhhh...! Pensei que apenas tinhas introduzido os dados do problema e o programa teria calculado o k.

Como o Prof. Paixão disse, falta agora provar analiticamente que K=(1+sqrt(5))/2. Mas penso que talvez seja mais fácil, agora que temos mais alguns dados para encarar a questão...


Sem dúvida e a própria visualização também ajuda. :lol:
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Mensagempor vbmaster em Quinta Nov 16, 2006 7:11 pm

jmgb Escreveu:vbmaster: faz gcc -lm programa.c

Vai ao pastebin buscar a ultima versao do codigo (em http://pastebin.com/825835). Corrigi um errozito (um erro de trigonometria básica).

Abraço.


PS: Está escrito em C e não C++.


Tens razão, esqueci-me que o gcc reconhece a linguagem em que vai compilar pela extensão do ficheiro, e já nem estava a ver que cpp vem de cplusplus.

Quanto ao gnuplot estou um poco encravado com isto, mas já percebi a ideia de qualquer maneira.

pmp Escreveu:Ei João! Obrigado pelo gráfico. :D Que vontade de aprender programação. :lol:

Como calculaste o k? O programa fornece?


O k está declarado no código. Foi usado para declarar a variável vp, como sendo k * vc (que é o que nos diz o enunciado).



Quanto ao problema em si tenho andando aqui às voltas sem encontrar ainda o que é preciso.

Neste momento estou a seguir a seguinte lógica:

Temos um polícia a efectuar uma trajectória em hiperbole, começando em (0,0) e acabando em (a,a), e como tal tendo um módulo do deslocamento de a*sqrt(2) (hipotenusa de quadrado de aresta a)

O módulo da velocidade do polícia é k * v, o que é igual ao módulo da velocidade média, logo:

||vm|| = ||deslocamento|| / t
kv = a*sqrt(2) / t

t pode vir do movimento do contrabandista, logo:

t = a / v

kv = a*sqrt(2)/(a/v)

Multiplicando para o outro lado:

k*a = a*sqrt(2)

o que me vai dar...infelizmente:

k = sqrt(2)

Argh!
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Mensagempor jmgb em Quinta Nov 16, 2006 7:20 pm

O módulo da velocidade do polícia é k * v, o que é igual ao módulo da velocidade média

Não me parece (de todo) que este pressuposto seja legítimo.

v é o módulo do vector velocidade instantânea para cada instante, logo, o que estás a considerar é que o espaço que o polícia percorre sobre a hipotenusa do triângulo seria igual ao que percorre ao descrever a hipérbole, uma vez que dizes que v e v(med) são iguais em módulo, e os tempos teriam de ser iguais. Isto é obviamente falso...


PS: Talvez tenhas esquecido o carácter vectorial da velocidade...
João Gama
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Mais uma simulação, agora em Python

Mensagempor jap em Quinta Nov 16, 2006 8:07 pm

Ainda não tive tempo de verificar o programa do joão gama, mas imagino que não tenha bugs :wink:

Aqui vai a minha versão, em python:

http://algol.fis.uc.pt/progs/contrab.py

Neste programa o barco da polícia tem coordenadas (a,b) e parte de (1,0); o contrabandista parte de (0,0), move-se segundo OY e tem coordenadas (c=0,d).

O resultado de correr este programa, que testa vários valores de k é o seguinte:

k= 1.10000, b= 5.23703, distance= 0.00009914
k= 1.20000, b= 2.72669, distance= 0.00009927
k= 1.30000, b= 1.88364, distance= 0.00009822
k= 1.40000, b= 1.45800, distance= 0.00009625
k= 1.50000, b= 1.19971, distance= 0.00009800
k= 1.60000, b= 1.02538, distance= 0.00009969
Bingo!>>>>>
k= 1.61803, b= 0.99975, distance= 0.00009580
k= 1.70000, b= 0.89925, distance= 0.00009478
k= 1.80000, b= 0.80337, distance= 0.00009236
k= 1.90000, b= 0.72778, distance= 0.00009269
k= 2.00000, b= 0.66649, distance= 0.00009000

(distance é a distância entre os dois barcos para esse valor de b; o programa calcula, para cada k, o valor de b para o qual a distância é inferior a 1E-4 - considero que, neste caso, a polícia apanhou o contrabandista! :D )

Não há dúvida que é para k = 1.61803... = (1+sqrt(5))/2 que b = 1 (com um erro na quarta casa decimal, devido ao método numérico)!
Para velocidade superiores, a policia apanha o contrabandista mais perto da costa (b < 1); para valores inferiores, a policia apanha o ladrão bastante mais longe da costa...

Agora só falta a inspiração para a demonstração teórica :roll: Força, olímpicos!
Abraço,
última vez editado por jap s Quinta Nov 16, 2006 11:46 pm, editado 2 vezes no total
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Mensagempor Real em Quinta Nov 16, 2006 11:18 pm

Caramba!

Estou a ver que este problema vos causou tanta "febre" como a mim!
De facto, o arco de circunferência é aquilo que surge à primeira vista, mas é demasiado simplista! A ideia da simulação é boa para demonstrar isso, mas também pode-se obter matematicamente que a introdução dessa solução dá origem a contradições.
Contudo, parece existir simetria na trajectória em relação à recta y=x (?) e a ideia da hipérbole não me parece nada má ideia! Alguém quer experimentar uma simulação com qualquer coisa deste género? (estive a fazer umas contas, mas não consegui nada :?)
Quanto ao ataque mais analítico do problema, a maior dificuldade que encontro é introduzir a condição de fronteira no ponto (0,a)...
Prometo pensar um pouco mais neste problema e vou ver se publico aqui em breve as conclusões que obtive até agora.

PS: este fórum é compatível com Latex?
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Mensagempor jap em Quinta Nov 16, 2006 11:49 pm

Real Escreveu:Caramba!

Estou a ver que este problema vos causou tanta "febre" como a mim!
De facto, o arco de circunferência é aquilo que surge à primeira vista, mas é demasiado simplista! A ideia da simulação é boa para demonstrar isso, mas também pode-se obter matematicamente que a introdução dessa solução dá origem a contradições.
Contudo, parece existir simetria na trajectória em relação à recta y=x (?) e a ideia da hipérbole não me parece nada má ideia! Alguém quer experimentar uma simulação com qualquer coisa deste género? (estive a fazer umas contas, mas não consegui nada :?)
Quanto ao ataque mais analítico do problema, a maior dificuldade que encontro é introduzir a condição de fronteira no ponto (0,a)...
Prometo pensar um pouco mais neste problema e vou ver se publico aqui em breve as conclusões que obtive até agora.

PS: este fórum é compatível com Latex?


Oi Diogo,

Pelos vistos o pessoal gostou mesmo do teu problema tricky!
O fórum ainda não é "Latex enabled" :cry:, mas estou a trabalhar nisso. Vamos ver se consigo ter o Latex renderer a funcionar em breve! :wink:
José António Paixão
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Mensagempor manuelmarque em Sexta Nov 17, 2006 6:34 pm

Real Escreveu:Caramba!

Estou a ver que este problema vos causou tanta "febre" como a mim!
De facto, o arco de circunferência é aquilo que surge à primeira vista, mas é demasiado simplista! A ideia da simulação é boa para demonstrar isso, mas também pode-se obter matematicamente que a introdução dessa solução dá origem a contradições.
Contudo, parece existir simetria na trajectória em relação à recta y=x (?) e a ideia da hipérbole não me parece nada má ideia! Alguém quer experimentar uma simulação com qualquer coisa deste género? (estive a fazer umas contas, mas não consegui nada :?)
Quanto ao ataque mais analítico do problema, a maior dificuldade que encontro é introduzir a condição de fronteira no ponto (0,a)...
Prometo pensar um pouco mais neste problema e vou ver se publico aqui em breve as conclusões que obtive até agora.

PS: este fórum é compatível com Latex?


Já estive a abordar um bocado o problema: tentei chegar a uma função cujo gráfico fosse uma hipérbole. Para tal, meti as duas componentes da velocidade (kv cos a (para x) e kv sin a (para y)), derivei, e deu-me a posição em x e em y em função do tempo e do ângulo a.

A partir daí progredi, mas cheguei ao fim com k = sqrt (2). Não é muito aproximado, mas... vou tentar rever isto - deve haver decerto um ou mais vícios de racíocinio aqui no meio.

Deixo um pdf com um scanning da minha resolução aqui.

Vou ver se este fim-de-semana penso nisto novamente :)

Realmente, quanto à questão do LaTeX, dava imenso jeito... não tem piada nenhuma termos de andar a escrevinhar tudo com apenas estes caracteres... devíamos poder pôr o modo de math... não haverá um plug-in para o phpBB que permita isso?
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Mensagempor jmgb em Sábado Nov 18, 2006 4:57 pm

sqrt(2) não faz sentido algum.

:?

Vamos continuar a pensar...

Estou neste momento a explorar as variações a nível vectorial da velocidade do barco do polícia... Isto é, estou a pensar na relação que existe entre a variação da velocidade do barco do polícia no eixo dos XX e a velocidade do barco do contrabandista em XX. Suspeito que estão fortemente relacionados...



Abraço a todos.
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Mensagempor manuelmarque em Sábado Nov 18, 2006 5:18 pm

jmgb Escreveu:sqrt(2) não faz sentido algum.

:?

Vamos continuar a pensar...

Estou neste momento a explorar as variações a nível vectorial da velocidade do barco do polícia... Isto é, estou a pensar na relação que existe entre a variação da velocidade do barco do polícia no eixo dos XX e a velocidade do barco do contrabandista em XX. Suspeito que estão fortemente relacionados...



Abraço a todos.


Exacto. Concordo que sqrt 2 não faz de todo sentido!
Eu concordo com essa relação - possivelmente o meu erro foi que estableci erradamente v como cateto oposto do triângulo em que kv é hipotenusa -- concluindo sin a = v/kv, sin a = 1/k. Possivelmente isto estará errado.

Agora, não sei como establecer qualquer tipo de ligação...
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Mensagempor jap em Sábado Nov 18, 2006 5:36 pm

Aqui vai uma dica para ajudar a encontrar a solução analítica do problema do contrabandista.

Os problemas "tricky" são difíceis de abordar de uma forma convencional, ou então não seriam "tricky" :D

Existe um conjunto de regras de ouro para resolver problemas desta categoria; aqui vai a primeira delas (darei as restantes noutros posts :wink: ):


Regra de ouro nº 1 - Para abordar um problema "tricky", o melhor é tentar dar a volta ao problema, ou seja, vêr o problema de um ângulo diferente do habitual, mudar de perspectiva, raciocinar de um ponto de vista diferente daquele que certamente todo o físico "trivia" iria utilizar.

Esta regra é fácil de enunciar, o difícil é pô-la em prática!

Para ajudar a mudar de ponto de vista, há quem tente resolver problemas "tricky" fazendo o pino :shock:, mas não aconselho uma abordagem tão radical 8) .
Outros levam papel e lápis para sítios que dificilmente seriam a primeira escolha para resolver problemas de física, mas que me garantem são excelentes fontes de inspiração. Conheço quem, por exemplo, tenha visto a luz :idea: durante a projecção de um filme no cinema, quando os seus neurónios até nem estavam aí, e tenha rabiscado a solução correcta durante o intervalo do filme!

Bom, tentem mudar de ângulo, ou de ponto de vista, na abordagem do problema do contrabandista e talvez consigam encontrar a demonstração analítica de que k = número de ouro! :D

Boa sorte!
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Mensagempor Andre França em Sábado Nov 18, 2006 7:15 pm

Por acaso este problema também tem andado a dar-me dores de cabeça. De todas as maneiras q tentei sempre acabava com contecas feias e coisas sem nexo...
Agora ando a tentar partir de um outro pressuposto... Imaginem que por todos os pontos da trajectória do barco passa uma recta tangente. Esta recta vai, obviamente, intersectar um dos eixos sobre barco do contrabandista; quanto à intersecção com o outro eixo, acho que existe uma relação simples e vou ver se consigo provar/contraprovar...

E outra coisa, para quem andou por estes lados, a trajectória tem ou não tem simetria em relação ao eixo y = x ?

Obrigado, abraço e boa sorte!
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Mensagempor jap em Terça Nov 21, 2006 12:03 am

Caros,

Têm 48 horas para resolver o problema - vou "postar" a solução às 22h00 de quarta-feira...se até lá ninguém o resolver. :wink:

Aqui vai a última dica:

a propósito da minha sugestão para tentarem ver o problema de um outro ângulo, parece-me que melhor ponto de vista para resolver o problema é o do polícia. Ponham-se na pele do polícia: para ele, este problema até é trivial :?
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Mensagempor fnog em Quarta Nov 22, 2006 5:59 pm

Uma questão diferente para o problema do contrabandista: qual é a curva que descreve a trajectória do barco da polícia? Dica: não é um ramo de hipérbole .... Solução às 22h01 de hoje... :wink:
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