Uma vez que estamos a tratar de pequenas oscilações, podemos ignorar o facto de existirem dois fios a segurar o relógio, e assumir apenas um (para oscilações maiores, um dos fios ficaria "lasso", pelo que o ponto de apoio mudaria ao passar no ponto mais baixo da oscilação). Assim, vamos simplificar o sistema e considerá-lo como um pêndulo suspenso de outro.
Ainda por causa das pequenas oscilações, vamos considerar que as tensões em cada um dos fios igualam o peso dos corpos suspensos deles, e que portanto a resultante das forças na vertical é nula. Portanto, aplicando a segunda lei de Newton para as forças horizontais, temos:

em que

são os deslocamentos horizontais da posição de equilíbrio da primeira e da segunda massas, respectivamente, e

os comprimentos dos fios de que estão suspensas, sendo

.
Num sistema como este, em que temos dois osciladores acoplados, há dois modos de oscilação fundamentais, chamados os modos normais, em que os osciladores estão em fase ou em anti-fase, não em algum valor intermédio. O que é importante acerca dos modos normais é que qualquer oscilação geral do sistema pode ser escrita como uma combinação linear destas oscilações fundamentais, de acordo com o princípio da sobreposição. Vamos então descobrir as frequências dos modos normais. Fazendo as ansatz

e

(os osciladores têm obrigatoriamente a mesma frequência; de outro modo não faria sequer sentido falar em fase e anti-fase!) e substituindo nas equações acima, vem:

Uma vez que

, vem

, pelo que após alguma manipulação algébrica da primeira equação podemos simplificá-la:

em que

. Reparem como já escrevi as equações resolvidas em ordem a

. O problema aqui é que temos três variáveis mas apenas duas equações. Só podemos resolver por completo o sistema quando nos forem dadas as condições iniciais. No entanto, interessam-nos apenas as frequências dos modos normais, pelo que utilizamos este truque para em seguida resolver em ordem a

.
Igualando então as duas equações acima, temos uma quadrática em

bastante simples de resolver, que nos dá:

Temos então, algo surpreendentemente, que um dos modos normais é na verdade estacionário! Desta maneira, apenas podemos concluir (e verificar formalmente se impusermos condições iniciais e resolvermos o sistema resultante) que a frequência de oscilação do pêndulo será dada pela frequência do segundo modo normal, que é a segunda solução acima.
P.S.: Neste sistema em particular, não seria estritamente necessário considerar os modos normais e o princípio da sobreposição; no entanto, achei que seria instrutivo mostrar como se aplicam esses conceitos num caso particular de osciladores acoplados
