O baloiço do Juca

Neste arquivo iremos colocar os problemas já resolvidos (não são problemas "mortos" porque a discussão pode continuar a qualquer altura!)

O baloiço do Juca

Mensagempor jap em Sábado Jan 24, 2009 7:22 pm

O Juca, o esperto irmão caçula do Xavier que vocês bem conhecem :lol:, está a divertir-se num baloiço do jardim público anexo à câmara municipal (onde trabalha o tio Max) de uma certa cidade açoriana. :D Mas em vez de estar sentado na tábua do baloiço, o Juca está de pé. :shock: Quando passa nos pontos mais altos da trajectória o Juca ajoelha-se e quando passa no ponto mais baixo, volta a por-se de pé. Desta forma, rapidamente consegue ganhar um grande balanço.

O Xavier aparece e fica preocupado. :?

- Juca, o que estás a fazer? Sai daí que vais cair e aleijar-te! Já viste o que vai dizer o tio Max se te vê nessa figura? :evil:
- Não te preocupes, Xavier! Estou só a testar a minha teoria do baloiço! Acho que consigo duplicar a minha amplitude inicial em ?? períodos, o que está de acordo com os meus cálculos. Queres ver?

E o Juca confirmou que a teoria do seu irmão estava mesmo certa! :P

Querem tentar descobrir como o Juca terá raciocinado? E sabendo que a razão entre a distância do centro de gravidade do sistema Juca + tábua do baloiço ao centro em torno do qual se dá a rotação é 6% maior quando ele se ajoelha em relação à posição em que está de pé, quantos períodos é que serão necessários para o Juca duplicar a sua amplitude inicial? :roll:
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Re: O baloiço do Juca

Mensagempor hexphreak em Terça Mar 10, 2009 2:47 pm

Serão 4 oscilações completas?
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Re: O baloiço do Juca

Mensagempor jap em Terça Mar 10, 2009 6:20 pm

hexphreak Escreveu:Serão 4 oscilações completas?



Certo! :hands:

Ora explica aí... :D
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Re: O baloiço do Juca

Mensagempor hexphreak em Terça Mar 10, 2009 7:01 pm

:D

Aproximaremos, com alguma relutância, o Juca a uma partícula localizada no CM do sistema, e consideraremos apenas pequenas oscilações. Seja ainda \eta = 1,06 a razão entre as distâncias desta partícula ao eixo de rotação quando o Juca está ajoelhado e em pé.

Podemos então escrever por conservação de energia entre a primeira posição do sistema e a posição intermédia:

\displaystyle {1 \over 2} m (\eta r)^2 \omega_0^2 = mg\eta r(1-\cos \theta_0)

em que m é a massa do sistema, r a distância do CM ao eixo de rotação quando ele está em pé, \omega_0 a velocidade angular no ponto mais baixo na primeira oscilação e \theta_0 a amplitude inicial do movimento. Isto dá-nos, fazendo a aproximação \displaystyle \cos \theta_0 \approx 1 - {\theta_0^2 \over 2} (obtida através da expansão do co-seno em série de Taylor):

\displaystyle \omega_0 = \theta_0 \sqrt{g \over \eta r}

Por outro lado, durante o instante em que o Juca se põe de pé, temos conservação do momento angular em relação ao eixo de rotação, já que todas as forças são paralelas ao raio vector. Deste modo:

m(\eta r)^2\omega_0 = mr^2\Omega_0

O que nos dá \Omega_0 = \eta^2 \omega_0. Aplicando de novo a conservação de energia entre o ponto mais baixo e o extremo seguinte:

\displaystyle {1 \over 2} mr^2\Omega_0^2 = mgr(1-\cos \nu_0)

Resolvendo, obtemos \nu_0 = \eta^{3/2}\theta_0. Aplicando o método outra vez, para a situação idêntica do movimento de retorno, obtemos então \theta_1 = \eta^3 \theta_0, pelo que podemos (por indução :wink:) deduzir a expressão geral para as amplitudes das n-ésimas oscilações:

\theta_n = \eta^{3n} \theta_0

Falta apenas responder à pergunta original. Pondo \eta^{3n} = 2 e resolvendo, obtemos n \approx 4. O Juca encontrou um método bastante eficiente para duplicar a amplitude do seu baloiço!

É também interessante reparar na simetria do método e na aplicação exclusiva das leis de conservação para resolver o problema. E na semelhança entre o inocente problema do Juca e um terrível problema que assombrou (ou hilariou) a última geração olímpica... :P
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Re: O baloiço do Juca

Mensagempor jap em Terça Mar 10, 2009 7:24 pm

Obrigado, Henrique! :friends:
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