Oh Guidobaldo!

Neste arquivo iremos colocar os problemas já resolvidos (não são problemas "mortos" porque a discussão pode continuar a qualquer altura!)

Oh Guidobaldo!

Mensagempor jap em Sexta Set 19, 2008 5:49 pm

Em 1606 Galileu Galilei popõe a Guidobaldo del Monte o seguinte problema (Galileu sabia a resposta correcta! :lol:):

Imagem

Se dois pequenos seixos forem largados simultaneamente de A e B, sendo que o seixo largado em B desliza, sem atrito, no plano inclinado BO, de comprimento L, que é uma corda da circunferência de diâmetro D, qual dos dois chega primeiro? :roll:

Nota: Na figura, \theta é o ângulo que OB faz com a horizontal.
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Re: Oh Guidobaldo!

Mensagempor hexphreak em Sexta Set 19, 2008 8:53 pm

Obtive t_{AO}^2 \sin \theta = t_{BO}^2, e como 0 \le \sin \theta \le 1, t_{AO} \ge t_{BO}, verificando-se igualdade apenas para \theta = {\pi \over 2} :)
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Re: Oh Guidobaldo!

Mensagempor jap em Sexta Set 19, 2008 9:03 pm

Tens a certeza? :P
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Re: Oh Guidobaldo!

Mensagempor hexphreak em Sexta Set 19, 2008 9:40 pm

Certeza não tenho :P

\left\{ \begin{array}{ll} y_A = {1 \over 2}gt_{AO}^2 \\ y_B = {1 \over 2}gt_{BO}^2\sin\theta \end{array} \right., logo {y_A \over y_B} = \frac{t_{AO}^2}{t_{BO}^2\sin\theta}.

Por outro lado, geometricamente temos {y_A \over y_B} = {1 \over \sin^2\theta}, pelo que t_{BO}^2 = t_{AO}^2 \sin\theta.
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Re: Oh Guidobaldo!

Mensagempor Ângela Guerra em Sexta Set 19, 2008 10:40 pm

Chegam ao mesmo tempo!
(Estou a preparar a resolução...)
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Re: Oh Guidobaldo!

Mensagempor jap em Sexta Set 19, 2008 10:42 pm

Sorry, Henrique, há um erro no teu raciocínio. :lol:

Está aberta a caça ao :cat: !

:mrgreen:
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Re: Oh Guidobaldo!

Mensagempor Ângela Guerra em Sexta Set 19, 2008 11:14 pm

Ora bem, aqui vai a resolução:

No caso de B: g_t=g.sen\theta

D=\frac{L}{sen\theta}

Defino um referencial y com origem em O e que passa por A (e o sentido positivo é de O para A).
Logo, a equação do movimento para A é: y=\frac{L}{sen\theta}-\frac{g}{2}t^2 (SI)

Depois defini um referencial x com origem em O e passando por B, sendo o sentido positivo de O para B.
Logo, a equação do movimento para B é: x=L-(\frac{g}{2}sen\theta)t^2 (SI)

Depois, substituindo o x e o y por 0, obtive as expressões de t para cada um dos seixos no momento em que chegam a O.
Para A: $t=\sqrt{\frac{L}{\frac{g}{2}sen\theta}$
Para B: $t=\sqrt{\frac{L}{\frac{g}{2}sen\theta}$

Ou seja, são iguais!!

(o mérito também é do Cirdaro Larama :hands: )
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Re: Oh Guidobaldo!

Mensagempor hexphreak em Sexta Set 19, 2008 11:17 pm

:shock:

Já pensaste que o tempo de queda a partir de A simplesmente não depende de \theta, é constante?
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Re: Oh Guidobaldo!

Mensagempor Ângela Guerra em Sexta Set 19, 2008 11:28 pm

Não, o tempo de queda do seixo que cai de A não é constante, depende de D. E, se fizeres variar o ângulo, fazes variar o L, mas como são inversamente proporcionais, D mantém-se constante...logo, desde que D se mantenha, o tempo de queda também se mantém.
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Re: Oh Guidobaldo!

Mensagempor jap em Sexta Set 19, 2008 11:43 pm

É isso! Dizendo a mesma coisa de outra forma,

D = \frac{1}{2}gt_a^2

L = \frac{1}{2}g\sin\theta t_B^2

mas L = D\sin\theta

portanto, substituindo,

D\sin\theta = \frac{1}{2}a\sin\theta t_B^2

pelo que a dependência em \theta desaparece, ficando
D = \frac{1}{2}gt_B^2

Ou seja, em ambos os casos,

t_A = t_B = \sqrt{\frac{2D}{g}}

:lol:
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Re: Oh Guidobaldo!

Mensagempor jap em Sexta Set 19, 2008 11:45 pm

E, já agora, aqui têm uma simulação:

http://demonstrations.wolfram.com/GalileosParadox/
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Re: Oh Guidobaldo!

Mensagempor jap em Sexta Set 19, 2008 11:48 pm

E, já agora, uns estudantes do DF da UC construiram uma réplica de um aparelho do Museu de Física que demostra o parodoxo. Com uma roda de bicicleta e um pouco de habilidade manual é muito fácil construir o aparelho. E é giro ver que resulta. Independentemente do ângulo da calha (o plano inclinado é uma calha no nosso aparelho), os dois seixos estatelam-se em baixo um no outro ao mesmo tempo ouvindo-se um sonoro baque - e só um! - quando eles chegam ao chão :confident:

Giro, né? :lol:
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Re: Oh Guidobaldo!

Mensagempor Ângela Guerra em Sexta Set 19, 2008 11:53 pm

jap Escreveu:mas L=Dsin\theta


Isso foi o que o Cirdaro Larama me disse para fazer, porque ficava mais simples, mas eu sou muito teimosa... :inocent:
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Re: Oh Guidobaldo!

Mensagempor Cirdaro Larama em Sexta Set 19, 2008 11:56 pm

Ângela Guerra Escreveu:Isso foi o que o Cirdaro Larama me disse para fazer, porque ficava mais simples, mas eu sou muito teimosa... :inocent:


Oh! Não venhas com isso... vai mas é dormir! Foi do sono e não da teimosia... :wink:
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Re: Oh Guidobaldo!

Mensagempor Ângela Guerra em Sábado Set 20, 2008 12:00 am

Sim, vamos pensar que eu fiz aquelas aldrabices trigonométricas todas por causa do sono... :D
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