Carro preso na lama

Neste arquivo iremos colocar os problemas já resolvidos (não são problemas "mortos" porque a discussão pode continuar a qualquer altura!)

Re: Carro preso na lama

Mensagempor jap em Quarta Set 24, 2008 9:15 pm

Se todos concordam com a expressão

H = R + R \sin \alpha + \frac{v^2\cos^2\alpha}{2g},

agora é fácil determinar, para v e R fixos, o ângulo \alpha que maximiza a altura... :wink:
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Re: Carro preso na lama

Mensagempor Bruno Oliveira em Quarta Set 24, 2008 9:23 pm

É 45º? :roll:
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Re: Carro preso na lama

Mensagempor jap em Quarta Set 24, 2008 9:57 pm

Bruno Oliveira Escreveu:É 45º? :roll:


:no
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Re: Carro preso na lama

Mensagempor Bruno Oliveira em Quarta Set 24, 2008 10:04 pm

Pois, era demasiado obvio se fosse, não é em todas as situações que \alpha=45º maximiza a altura... :roll:
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Re: Carro preso na lama

Mensagempor hexphreak em Quarta Set 24, 2008 10:13 pm

Basta resolverem {dH \over d\alpha} = 0 :)
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Re: Carro preso na lama

Mensagempor Bruno Oliveira em Quarta Set 24, 2008 10:48 pm

Amanhã de manhã faço isso...mas é derivada parcial acho eu :?

Amanhã vejo... :wink:
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Re: Carro preso na lama

Mensagempor Bibs em Quinta Set 25, 2008 7:11 am

Ah, finalmente :XD
Obtive o resultado de cos α = 0 ou sen α = (gR)/(V^2). Como se cos α = 0 tem-se que H = 2R, é só substituir o segundo resultado para sen α e cos α e chega-se ao resultado esperado :D
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Re: Carro preso na lama

Mensagempor Bruno Oliveira em Quinta Set 25, 2008 7:36 am

Acho que é isso.

Vai de facto haver duas soluções, uma com o co-seno e a outra com o seno, mas o que se pedia, era o ângulo que maximiza a altura, que resolvendo a derivada da parte do seno, vemos que é:

\alpha=arcsin \lef( {gR \over v^2} )\right

Mas agora, é muito simples, nem seria em primeira instância necessário ter resolvido em ordem ao ângulo! Bastava apenas ter deixado na forma de sin ou cos e fazer uma substituição trivial:

Ora, se a nossa expressão da altura máxima atingida pela lama é:

H=R+Rsin \alpha+{v^2 cos^2 \alpha  \over  2g}, então substituindo tanto \cos \alpha e \sin \alpha, pelos seus respectivos valores, obtém-se:

H=R+{gR^2 \over v^2}+{v^2 \over 2g}
última vez editado por Bruno Oliveira s Quinta Set 25, 2008 6:43 pm, editado 3 vezes no total
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Re: Carro preso na lama

Mensagempor jap em Quinta Set 25, 2008 6:38 pm

Certo, Bibs e Bruno! :hands:

E, já agora, verifiquem que a solução \cos \alpha = 0 só corresponde a um máximo da altura na situação em que v^2 < gR; quando v^2> gR, como se especifica no problema, a única solução que corresponde a um máximo é aquela que vocês encontraram, em que o máximo ocorre para o ângulo

\alpha = \arcsin \left(\frac{gR}{v^2} \right)

E já agora mostrem mesmo que se trata de um máximo (o facto e a derivada ser nula não é suficiente, pois podia até tratar-se de um mínimo!) :lol:
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Re: Carro preso na lama

Mensagempor Bruno Oliveira em Quinta Set 25, 2008 6:47 pm

Mas como fazemos isso? :roll:

Obviamente, que não é possivel substituir valores, e, mesmo que fosse, isso era um caso particular e não se mostrava nada :? .
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Re: Carro preso na lama

Mensagempor jap em Quinta Set 25, 2008 6:50 pm

Bruno Oliveira Escreveu:Mas como fazemos isso? :roll:

Obviamente, que não é possível substituir valores, e, mesmo que fosse, isso era um caso particular e não se mostrava nada :? .


Experimenta calcular a 2ª derivada, \frac{d^2 H}{d\alpha^2} para esse ângulo; se conseguires mostra que ela é < 0 para aquele ângulo, é porque aí temos um máximo, não é verdade? 8)
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Re: Carro preso na lama

Mensagempor Bruno Oliveira em Quinta Set 25, 2008 7:04 pm

Provavelmente enganei-me nalgum sinal, mas a segunda derivada será dada por:

{dH \over d \alpha}&#39;=-R sin \alpha + sin^2 \alpha {v^2 \over g}- cos^2 \alpha {v^2 \over g}

Parece-me demasiadamente grande para uma segunda derivada... :roll:
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Re: Carro preso na lama

Mensagempor Bibs em Quinta Set 25, 2008 8:22 pm

Obtive:
H' ' = -g*R*sen α + (V^2)((sen α)^2) - (V^2)((cos α)^2)
Substituindo (cos α)^2 por 1-(sen α)^2 e sen α por (gR)/(V^2), obtém-se: H' '=(g^2)(R^2) - V^4. Logo, como V^2 > gR, tem-se o resultado negativo esperado de um máximo.
Por outro lado, se substituir cos α por 0 e sen α por 1 ou -1, tem-se que H' ' = -gR + V^2 ou gR + V^2 , e como V^2 > gR, em ambos os casos obtém-se um resultado positivo, de um mínimo :D
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Re: Carro preso na lama

Mensagempor jap em Quinta Set 25, 2008 8:25 pm

Isso, mesmo! :hands:
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Re: Carro preso na lama

Mensagempor RicardoCampos em Quinta Set 25, 2008 8:51 pm

Mas se este pessoal é fisico, precisava mesmo de ir à segunda derivada? :P
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