Voltímetro de condensador e mola

Neste arquivo iremos colocar os problemas já resolvidos (não são problemas "mortos" porque a discussão pode continuar a qualquer altura!)

Mensagempor Bruno Oliveira em Sexta Jul 18, 2008 10:05 pm

Hum...mas então neste caso a mola vai oscilar com MHS ou algo do género? :roll:
Se assim for a posição x da mola irá mudar penso eu... e obedecer á equação do MHS para a posição... :roll:
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Mensagempor jap em Sexta Jul 18, 2008 10:34 pm

Bruno Oliveira Escreveu:Hum...mas então neste caso a mola vai oscilar com MHS ou algo do género? :roll:
Se assim for a posição x da mola irá mudar penso eu... e obedecer á equação do MHS para a posição... :roll:


É verdade que a placa móvel irá passar com velocidade não nula pela nova posição de equilíbrio...mas vamos imaginar que há um mecanismo dissipativo, como a resistência do ar ao movimento da placa, que acabará por parar o movimento oscilatório.

Em resumo, precisamos apenas de encontrar a posição em que a força eléctrica equilibra a força da mola...não é necessário analisar o movimento de oscilação da placa móvel. :wink:
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Mensagempor Bruno Oliveira em Sexta Jul 18, 2008 10:38 pm

Hum...então nesse caso seria novamente a partir da relação usada para o problema anterior, mas resolver em ordem á posição x? :roll:

Assim não parece tricky... :roll:
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Mensagempor Bruno Oliveira em Sexta Jul 18, 2008 10:58 pm

De certeza que me devo estar a precipitar, mas resolver a igualdade anterior em relação á posição é tão fácil que deixo aqui a expressão:

x=\sqrt{\frac{\epsilon_0.S.V^2}{d.k}}

Não deve ser este o caminho senão era ultra trivia :lol:
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Mensagempor jap em Sexta Jul 18, 2008 10:58 pm

Bruno Oliveira Escreveu:Hum...então nesse caso seria novamente a partir da relação usada para o problema anterior, mas resolver em ordem á posição x? :roll:

Assim não parece tricky... :roll:


É preciso obter a expressão da força de atracção entre as placas em função de x e ter cuidado, porque agora é a carga Q das placas que se conserva, não a diferença de potencial entre as placas. :wink:
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Mensagempor Bruno Oliveira em Sexta Jul 18, 2008 11:00 pm

Pois, era de prever, até porque a placa vai passar com velocidade não nula pela nova posição de equilibrio :?
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Mensagempor Bruno Oliveira em Sexta Jul 18, 2008 11:08 pm

Será a Lei de Coulomb para a atracção entre cargas? :roll:
Aquela muito famosa, análoga á do Newton para a gravitação? :?

Acho que era algo do género:

F=K\frac{q1.q2}{d^2}, só que essa é entre 2 cargas :roll: , agora num campo delas... :lol: e também se deverá ter cuidado com as letras está-me bem a parecer, já temos aqui um K, que não á a constante elástica da mola... :roll:
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Mensagempor Bruno Oliveira em Sábado Jul 19, 2008 10:47 am

O meu problema agora, parece ser o facto da Lei de Coulomb se aplicar apenas a duas cargas pontuais, deve ser preciso integrar para se obter a força num campo delas... :roll: , como o campo entre as placas do condensador. Depois partindo da expressão que se obteve iguala-se á da força da mola, que é dada(nao tenho a certeza :whistle: ), pela Lei de Hooke:

F=-k.x

Será isto prof? :roll:
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Mensagempor jap em Sábado Jul 19, 2008 11:29 am

Bruno Oliveira Escreveu:O meu problema agora, parece ser o facto da Lei de Coulomb se aplicar apenas a duas cargas pontuais, deve ser preciso integrar para se obter a força num campo delas... :roll: , como o campo entre as placas do condensador. Depois partindo da expressão que se obteve iguala-se á da força da mola, que é dada(nao tenho a certeza :whistle: ), pela Lei de Hooke:

F=-k.x

Será isto prof? :roll:


Para encontrares a expressão da força de atracção entre as placas podes considerar um pequeno deslocamento dx da placa móvel e usar

Fdx = -\Delta E_p

onde E_p é a energia potencial eléctrica armazenada no condensador.
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Mensagempor Bruno Oliveira em Sábado Jul 19, 2008 12:38 pm

Bem, isto parece ser um pouco avançado para mim, mas vou tentar desenrascar uns cálculos, também não há de ser nada do outro mundo :lol:
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Mensagempor Bruno Oliveira em Sábado Jul 19, 2008 12:54 pm

Bom, a variação será a EP_{final}-EP_{inicial} e haverá mudança de alguns parâmetros como a distância d, entre as placas, assim como da diferença de potencial, V, certo? :roll:

Assim vem:

Fdx=-\left(\left( \frac{1}{2}.\epsilon_0.\frac{S}{d_{final}}.V^2_{final}\right)-\left(\frac{1}{2}.\epsilon_0.\frac{S}{d_{inicial}}.V^2_{inicial}\right)\right)

Mas não sei como desenvolver este cálculo agora :roll:
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Mensagempor Pedro Melo em Sábado Jul 19, 2008 3:34 pm

Não pode usar a Lei de Gauss, considerando que d é muito menor do que as dimensões das placas dos condensadores? Facilita um bocado os cálculos.

Ficava com E=\frac{Q}{2S\epsilon_{0}} para o módulo do campo eléctrico na placa móvel, e pela Lei de Definição de Campo Eléctrico obtinha que a placa ligada à mola ficava sujeita a uma força de módulo igual a F=\frac{Q^{2}}{2S\epsilon_{0}}.
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Mensagempor jap em Sábado Jul 19, 2008 3:49 pm

Bruno Oliveira Escreveu:Bom, a variação será a EP_{final}-EP_{inicial} e haverá mudança de alguns parâmetros como a distância d, entre as placas, assim como da diferença de potencial, V, certo? :roll:

Assim vem:

Fdx=-\left(\left( \frac{1}{2}.\epsilon_0.\frac{S}{d_{final}}.V^2_{final}\right)-\left(\frac{1}{2}.\epsilon_0.\frac{S}{d_{inicial}}.V^2_{inicial}\right)\right)

Mas não sei como desenvolver este cálculo agora :roll:


A ideia está correcta, mas repara que como a tensão varia com o movimento das placas, é mais útil utilizar a carga armazenada nas placas em vez da tensão, uma vez que a carga armazenada nas placas não muda durante o deslocamento da placa móvel.

Repara que

E_p = \frac{1}{2}QV = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}

Claro que a capacidade do condensador varia com o movimento da placa, mas conhecemos a forma dessa variação.

Ou seja, podes continuar com o teu raciocínio, substituindo V_{\rm inicial}  = \frac{Q}{C_{\rm inicial}} e V_{\rm final}  = \frac{Q}{C_{\rm final}}...

...vais conseguir chegar à expressão para a força entre as placas a que chegou o Pedro, usando a Lei de Gauss! :lol: Ora verifica lá, ... :wink:
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Mensagempor Bruno Oliveira em Sábado Jul 19, 2008 5:40 pm

Provavelmente posso ter-me enganado ao pôr alguns factores em evidência :? , mas a expressão a que chego após efectuar a substituição indicada pelo prof. (que voltou a ajudar bastante :D ), é a seguinte expressão:

Fdx=-\left(\frac{1}{2}\epsilon_0.S.Q\left(\frac{Q}{d_{final}.C^2_{final}}-\frac{Q}{d_{inicial}.C^2_{inicial}}\right)\right).

Será isto? :roll:
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Mensagempor jap em Sábado Jul 19, 2008 7:13 pm

Bruno Oliveira Escreveu:Provavelmente posso ter-me enganado ao pôr alguns factores em evidência :? , mas a expressão a que chego após efectuar a substituição indicada pelo prof. (que voltou a ajudar bastante :D ), é a seguinte expressão:

Fdx=-\left(\frac{1}{2}\epsilon_0.S.Q\left(\frac{Q}{d_{final}.C^2_{final}}-\frac{Q}{d_{inicial}.C^2_{inicial}}\right)\right).

Será isto? :roll:


Ou ainda,

Fdx=-\frac{1}{2}Q^2\left(\frac{1}{C_{final}}-\frac{1}{C_{inicial}}\right).


Verifica lá. :wink: Concordas? :roll:


Depois é só substituir

C_{\rm final} = \epsilon_0 \frac{S}{d-\Delta x}

C_{\rm inicial} = \epsilon_0 \frac{S}{d}


e considerar um \Delta x tão pequeno que possamos considerar que a força de atracção entre as placas é praticamente constante, pelo que o trabalho da força pode ser dado por F \Delta x...ou Fdx, mas não confundas o d de dx com o d das placas! :lol:
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