Voltímetro de condensador e mola

Neste arquivo iremos colocar os problemas já resolvidos (não são problemas "mortos" porque a discussão pode continuar a qualquer altura!)

Voltímetro de condensador e mola

Mensagempor jap em Quinta Jul 03, 2008 9:19 pm

Um voltímetro pode ser construído à custa de um condensador de placas paralelas e de uma mola, tal como mostra a figura.

Imagem

Uma das placas do condensador está fixa e a outra, móvel, está ligada à mola e pode deslocar-se segundo a direcção perpendicular às placas. A medida da diferença de potencial é feita à custa do deslocamento da placa móvel, medido numa escala graduada.

Se a área de cada placa é S, a distância inicial entre as placas d e k a constante elástica da mola, qual é a diferença de potencial máxima que conseguimos medir com este voltímetro? :roll:
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Mensagempor Bruno Oliveira em Quinta Jul 17, 2008 9:36 pm

Hum...este problema parece ser muito intressante :D

Se estiver a ver bem o esquema, então a diferença de potencial será máxima quando a mola estiver comprimida, ou seja, quando a distancia entre as placas for:

d_{placas}=d -x

em que aqui o meu x é o deslocamento resultante da deformação da mola...será algo assim? :roll:
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Mensagempor Bruno Oliveira em Quinta Jul 17, 2008 10:02 pm

Bem, não resisti a ler mais sobre condensadores e descobri a fórmula que nos dá a quantidade de carga acumulada no condensador:

Q=c.V, em que o c que é a capacitância vai depender das caracteristicas do condensador referidas pelo professor :D , a distancia d entre as placas, e a área S,também das placas.

Pela fórmula acima vemos, que V, a diferença de potencial é:

V=\frac{Q}{c}, assim e usando a notação do prof. , mais a da distância entre as placas vem:

V=\frac{Q.d_{placas}}{S.\epsilon_0.\epsilon_r}, em que \epsilon_0 e \epsilon_r são a permissividade eléctrica do vazio e e constante dieléctrica que tem que ver com o material usado, mas deve estar mal, não estou a conseguir entrar em conta com o k :roll:
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Mensagempor jap em Quinta Jul 17, 2008 10:19 pm

Bruno Oliveira Escreveu:Bem, não resisti a ler mais sobre condensadores e descobri a fórmula que nos dá a quantidade de carga acumulada no condensador:

Q=c.V, em que o c que é a capacitância vai depender das caracteristicas do condensador referidas pelo professor :D , a distancia d entre as placas, e a área S,também das placas.

Pela fórmula acima vemos, que V, a diferença de potencial é:

V=\frac{Q}{c}, assim e usando a notação do prof. , mais a da distância entre as placas vem:

V=\frac{Q.d_{placas}}{S}, mas deve estar mal, não estou a conseguir entrar em conta com o k :roll:


Estás no bom caminho! :D

A situação que se pretende analisar é aquela em que se liga ao condensador uma fonte de tensão que aplica às placas do condensador a tensão V; as placas atraem-se até uma certa distância de equilíbrio, sob a acção da mola.

Nota que a carga Q nas placas não é um dado do problema e a capacidade do condensador plano varia com a distância segundo a expressão C = \epsilon_0\frac{S}{d}, \epsilon_r \sim 1 para o ar... :wink:

Há várias formas de resolver o problema, uma delas é usar o princípio da conservação da energia... 8)
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Mensagempor Bruno Oliveira em Quinta Jul 17, 2008 10:22 pm

Então isso significa que a mola se vai distender em vez de se comprimir? :roll:
Hum..., mas a \Delta V, não era maior quanto mais afastadas estivessem as placas? :roll:
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Mensagempor jap em Quinta Jul 17, 2008 10:24 pm

Bruno Oliveira Escreveu:Então isso significa que a mola se vai distender em vez de se comprimir? :roll:


Sim, porque as cargas das placas do condensador são simétricas e vão atrair-se ... repara também como está montada a escala do aparelho! :lol: Ao ligares a fonte a agulha do mostrador desloca-se para a direita, distendendo-se a mola! :D
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Mensagempor Bruno Oliveira em Quinta Jul 17, 2008 10:27 pm

Claro, que distracção, nem reparei no que estava no topo do condensador :oops:
Bem, acho que tento amanhã de manhã :D .

Boa noite comunidade :zzz:
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Mensagempor jap em Quinta Jul 17, 2008 10:27 pm

Bruno Oliveira Escreveu:(...)
Hum..., mas a \Delta V, não era maior quanto mais afastadas estivessem as placas? :roll:


Sim, se Q se mantivesse constante no processo ... o que não é verdade! O que é constante é a diferença de potencial aplicada às placas, não a carga que se aplica nelas.

Mas se ligasse só a fonte a um condensador de placas paralelas e depois a desligasses (a carga mantém-se nas placas do condensador) e só depois afastasses as placas, aí sim a diferença de potencial ia aumentar. Mas se mantiveres o condensador ligado à fonte, a tensão não aumenta com a variação da distância d (obviamente!), o que significa que Q não pode permanecer constante. Certo? :roll:
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Mensagempor Bruno Oliveira em Quinta Jul 17, 2008 10:30 pm

Claro, faz sentido :roll:

Amanhã ataco de novo o problema :D
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Mensagempor Bruno Oliveira em Sexta Jul 18, 2008 10:49 am

O método da conservação da energia que o prof. referiu, terá a haver com a energia potencial elástica da mola: EP_{elast.}=\frac{kx^2}{2} e também com a energia armazenada no condensador: E_{condens}=\frac{1}{2}c.V^2? :roll:

Parece-me que se se conseguirem relacionar estes dois tipos de energia estaremos no bom caminho :roll:
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Mensagempor jap em Sexta Jul 18, 2008 11:17 am

Bruno Oliveira Escreveu:O método da conservação da energia que o prof. referiu, terá a haver com a energia potencial elástica da mola: EP_{elast.}=\frac{kx^2}{2} e também com a energia armazenada no condensador: E_{condens}=\frac{1}{2}c.V^2? :roll:

Parece-me que se se conseguirem relacionar estes dois tipos de energia estaremos no bom caminho :roll:


Sim, Bruno, estás no bom caminho! :D
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Mensagempor Bruno Oliveira em Sexta Jul 18, 2008 12:16 pm

Óptimo :D , então agora, acho que será conveniente substituir a capacitância, c, do condensador, pela expressão:

C=\epsilon_0\frac{S}{d}, como o prof. já disse a permitividade eléctrica, \epsilon_r, desaparece pois no ar \epsilon_r \sim 1.

Assim, substituindo o valor de C, na expressão para a energia fornecida ao condensador vem:

E_{condens.}=\frac{1}{2}.\epsilon_0\frac{S}{d}.V^2

Agora ao igualar as expressões:
E_{condens.}=EP_{elast.}, obtemos a relação:

\frac{1}{2}.\epsilon_0\frac{S}{d}.V^2=\frac{kx^2}{2}, e resolvendo em ordem á diferença de potencial, V, obtenho que:

V=\sqrt{\frac{kdx^2}{S.\epsilon_0}}, neste resultado já se obtém a constante elástica da mola, k. 8)
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Mensagempor Zé Teixeira em Sexta Jul 18, 2008 5:05 pm

E portanto a diferença de potencial máxima ocorre quando as placas se estão quase a tocar, portanto quando x=d. Vem, então

V_{max} = \sqrt{\frac{kd^3}{S.\epsilon_0}}
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Mensagempor Bruno Oliveira em Sexta Jul 18, 2008 7:02 pm

Então a minha fórmula estava certa? :hurra:
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Mensagempor jap em Sexta Jul 18, 2008 10:03 pm

Bruno Oliveira Escreveu:Então a minha fórmula estava certa? :hurra:


Sim, parabéns, Bruno! :hands:

Mas agora vou transformar o problema trivia num ligeiramente tricky. :lol: Existe uma versão deste voltímetro que funciona de forma ligeiramente diferente. :?

A mola está segura na posição de equilíbrio ("0" da escala) por uma pequena "alavanca" enquanto se carrega o condensador ligando-o à fonte de tensão U; depois de o condensador carregar, desliga-se o condensador da fonte de tensão e só depois se liberta a mola, desactivando a pequena "alavanca" que a mantinha na posição "0".

Ora descubram lá a nova expressão para a tensão máxima que é possível medir com este aparelho... :wink:
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