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Órbita de transferência do vai-vem espacial

MensagemEnviado: Domingo Abr 13, 2008 2:37 pm
por jap
O vai-vem espacial vai colocar um satélite numa órbita geoestacionária a 35770 km sobre a superfície terreste. Para economizar combustível, o lancçamento é feito em duas etapas, como se descreve na figura seguinte.

Imagem

Primeiro, o vai-vem é colocado numa órbita (1) de raio R a 350 km de altura (LEO=Low earth orbit). Na altura certa (ver figura) são ligados os foguetes e comunicado ao foguetão uma velocidade \Delta v_1 que lhe permite entrar numa órbita elíptica de transferência (2) que intercepta a órbita circular desejada (3), de raio R^\prime\rm = 35770~km. Chegado ao ponto de intersepção, são ligados de novo os foguetes de modo a que o satélite adquira a velocidade necessária para se manter na órbita geoestacionária.

Calculem:

a) \Delta v e \Delta v^\prime
b) A energia que é necessário fornecer ao satélite para o colocar em órbita
c) O tempo que demora a viagem do nave na órbita de transferência (entre LEO e a órbita geoestacionária).

Have fun! :P

PS: Para além de uma resolução analítica, é bem vinda uma resolução (simluação) computacional!

MensagemEnviado: Domingo Abr 13, 2008 3:02 pm
por hexphreak
b) Parece-me ser simplesmente a soma da energia potencial da órbita com a energia cinética da velocidade final, v_{\mbox{LEO}} + \Delta v + \Delta v' :)

Ainda tenho de pensar nas outras, nunca trabalhei com órbitas elípticas antes... :roll:

MensagemEnviado: Domingo Abr 13, 2008 5:25 pm
por hexphreak
Tive de utilizar o teorema virial, não estava a ver nenhuma outra maneira para o fazer :roll: Cheguei ao resultado, para b), de:

E = -\frac{GMm}{2R'}

Utilizando este resultado para calcular a velocidade em órbita, obtive para os delta-v's:

\Delta v = \sqrt{\frac{GM}{R}} \big( \sqrt{\frac{2R' - R}{R'}} - 1 \big)
\Delta v' = \sqrt{\frac{GM}{R'}} \big( 1 - \sqrt{\frac{2R' - R}{R}} \big)

MensagemEnviado: Segunda Abr 14, 2008 9:27 pm
por jap
Quase certo, mas falta-lhe o "quase"! :D

Onde estará o gato? :roll:

MensagemEnviado: Segunda Abr 14, 2008 10:31 pm
por hexphreak
jap Escreveu:Quase certo, mas falta-lhe o "quase"! :D

Onde estará o gato? :roll:

Cometi um erro absolutamente idiota na geometria da elipse :oops: Assim sendo, tenho:

\Delta v = \sqrt{\dfrac{GM}{R}} \bigg( \sqrt{\dfrac{2R'}{R + R'}} - 1 \bigg)
\Delta v' = \sqrt{\dfrac{GM}{R'}} \bigg( 1 - \sqrt{\dfrac{2R}{R + R'}} \bigg)

Já está correcto? :)

MensagemEnviado: Segunda Abr 14, 2008 10:45 pm
por hexphreak
Já agora, utilizando a terceira lei de Kepler, obtemos para o tempo de transferência:

T = \sqrt{ \dfrac{\pi^2(R + R')^3}{8GM} }

MensagemEnviado: Segunda Abr 14, 2008 11:16 pm
por jap
Sim, agora está tudo correcto! :hands:

Já agora, para ficar completo, concretiza os valores numéricos. :wink:

MensagemEnviado: Terça Abr 15, 2008 4:34 pm
por hexphreak
jap Escreveu:Sim, agora está tudo correcto! :hands:

Já agora, para ficar completo, concretiza os valores numéricos. :wink:

Cá vão eles :)

\Delta v \approx 13748\,\mbox{m\,s^{-1}}
\Delta v' \approx 2874\,\mbox{m\,s^{-1}}
T \approx 12076\,\mbox{s}

Entretanto, querem tentar mais um bocado ou posto a resolução? :wink: