Régua e lata

Neste arquivo iremos colocar os problemas já resolvidos (não são problemas "mortos" porque a discussão pode continuar a qualquer altura!)

Régua e lata

Mensagempor hexphreak em Domingo Abr 13, 2008 12:05 am

Considerem uma lata perfeitamente cilíndrica, fixa ao solo, de raio R, e uma régua de comprimento L e espessura desprezável, como mostra a figura.

Imagem

Calculem o período de pequenas oscilações da régua, assumindo que não desliza :wink:
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Mensagempor RicardoCampos em Sexta Abr 25, 2008 12:25 am

Comecemos por considerar o nosso ponto de referência o ponto de contacto com o fio e o circulo, errr, digo, a régua e a lata.

Vamos ver o torque em relação ao Centro de Massa

\vec\tau = \vec{r}\times\vec{F} \approx r \times P_n = rmg \cos \theta e como qualquer que seja o físico pertencente ao conjunto dos físicos da quarkónia adora aproximações, vamos aproximar \cos \theta \approx 1 :P

\tau = rmg = (R \sin \theta )mg = Rmg\theta

Como \tau = I\alpha

E numa barra I=\frac{mL^2}{12}, então

Rmg\theta = \frac{mL^2}{12} \alpha \Leftrightarrow \alpha = \frac{12Rg\theta}{L^2}

Conhecem de algum lado?

\frac{d^2\theta}{d^2t} - \frac{k}{m} \theta = 0

Logo o periodo dá 2\pi \sqrt {\frac{L^2}{12Rg}}


EDIT:
r -> distância ao centro de massa
\theta-> angulo com a vertical
última vez editado por RicardoCampos s Sexta Abr 25, 2008 12:52 am, editado 1 vez no total
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Mensagempor jap em Sexta Abr 25, 2008 12:33 am

:omg:

O mítico problema das latas de tomate! :lol:

ver

http://olimpiadas.fis.uc.pt/docs/2002/ap_exp.pdf

PS: Parabéns Ricardo, a resolução está certa! :hands:

PS2: No ano de 2002 a agência financiadora teve uma conta de umas dúzias de latas de sumo de tomate como material para a prova de fogo! :lol:

PS3: Foi o único ano (que me lembre) onda a prova experimental da PDF era comestível! :lol:
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Mensagempor hexphreak em Sexta Abr 25, 2008 12:38 am

Saiu numa PDF? :shock: Muito giro... embora inclua a espessura, não é difícil de modificar a resolução, pois não Ricardo? :wink:


P.S.: Embora ele tenha deixado várias coisas por explicar, o resultado está certo.
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Mensagempor RicardoCampos em Sexta Abr 25, 2008 12:51 am

RicardoCampos Escreveu:
\tau = rmg = (R \sin \theta )mg = Rmg\theta


Eu e o Henrique estava-mos aqui numa duvida...

r é exactamente igual a quanto?

Eu por acaso esquci-me de especificar, mas \theta é o angulo que R (quando está a bater no ponto de contacto com a regua e a esfera) faz com a vertical.

r não é igual ao seno, nem ao cosseno. Parece ser quase igual à tangente, mas para isso o centro de massa tinha que estar na vertical, coisa que não está.

Isto no fundo está a bater tudo bem por causa das aproximações, mas na realidade como é que seria?
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Mensagempor jap em Sexta Abr 25, 2008 12:54 am

É (quase) só geometria! :D

Ora pensem lá...coloco a resposta amanhã. :wink:

Já estou com :zzz:
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Mensagempor RicardoCampos em Sexta Abr 25, 2008 1:00 am

Fisicamente, julgo que é valida a aproximação daquilo a \tan\theta, já que como a variação é pequena o centro de massa está quase na vertical.

Mas não sei se ha alguma maneira mais bonita para isto.
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Mensagempor hexphreak em Sexta Abr 25, 2008 1:33 pm

jap Escreveu:É (quase) só geometria! :D

Ora pensem lá...coloco a resposta amanhã. :wink:

Já estou com :zzz:

Quando resolvi este problema, pensei em R \theta, mas agora não estou tão certo disso :? (E geometria não é decerto o meu forte)
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Mensagempor fnog em Sexta Abr 25, 2008 3:31 pm

jap Escreveu:PS2: No ano de 2002 a agência financiadora teve uma conta de umas dúzias de latas de sumo de tomate como material para a prova de fogo! :lol:

PS3: Foi o único ano (que me lembre) onda a prova experimental da PDF era comestível! :lol:


Se bem me lembro, no final dava-se a receita para uma excepcional "esparguete com molho de tomate, cogumelos e milho"... tínhamos 3 objectos cilíndricos...
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Mensagempor jap em Sexta Abr 25, 2008 5:02 pm

RicardoCampos Escreveu:
r não é igual ao seno, nem ao cosseno. Parece ser quase igual à tangente, mas para isso o centro de massa tinha que estar na vertical, coisa que não está.

Isto no fundo está a bater tudo bem por causa das aproximações, mas na realidade como é que seria?


r é a distância do ponto de contacto da tábua com o cilindro ao centro de massa da tábua.

Partindo da posição de equilíbrio, e se a tábua roda sem deslizar, a distância r só pode ser igual a R\theta (se a tábua não tiver espessura).

Por isso r = R \theta e não r = R\sin \theta ou R \tan \theta e como tal não há aqui (em r = R\theta) qualquer aproximação de pequenos ângulos, apenas em fazer \cos \theta  \sim 1 na componente "útil" do peso (para o momento de rotação!) P_n = mg \cos\theta \sim mg.

O resto está correcto. Há ainda a subtileza de se estar a usar o momento de inércia em relação ao centro de massa, quando o centro de rotação só (em média) e para pequenos deslocamentos se poder considerar ser o CM.
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Mensagempor hexphreak em Sexta Abr 25, 2008 5:24 pm

Intuição física > intuição matemática 8) (só para o irritar)

Quanto ao momento de inércia, a aproximação vem directamente do teorema de Steiner, porque o factor adicional é de ordem 2 em \theta e portante desprezável :)
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Mensagempor jap em Sexta Abr 25, 2008 5:28 pm

hexphreak Escreveu:Intuição física > intuição matemática 8) (só para o irritar)

Quanto ao momento de inércia, a aproximação vem directamente do teorema de Steiner, porque o factor adicional é de ordem 2 em \theta e portante desprezável :)


Isso :yes
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