Pressão na estação espacial

Neste arquivo iremos colocar os problemas já resolvidos (não são problemas "mortos" porque a discussão pode continuar a qualquer altura!)

Pressão na estação espacial

Mensagempor jap em Quinta Abr 10, 2008 9:00 pm

Considerem uma estação espacial, algures no espaço e bem longe da Terra, que é um grande cilindro de raio R_0, cheio de ar, a rodar com a velocidade angular \omega correcta para produzir uma gravidade artificial de \rm 10~ms^{-2} na superfície curva interior do cilindro, por onde passeiam os ocupantes da estação (viram o 2001 Odisseia no Espaço? :P).

A rotação da estação provoca também uma gradiente de pressão no interior da nave (porquê?).

Ora calculem a razão P(r)/P_0 em função da distância r ao eixo do cilindro ( 0 < r < R_0), sendo P_0 a pressão no eixo. A expressão deve ser dada apenas em função da constante dos gases perfeitos R, da temperatura absoluta T no interior da estação, do seu raio R_0 e da "massa molar" M do ar. :D
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Mensagempor hexphreak em Quinta Abr 10, 2008 9:17 pm

A temperatura dentro da nave é mantida constante, ou também depende da pressão? :roll: É fácil obter uma solução assumindo que tanto a temperatura como a aceleração gravítica são constantes, por isso vou tentar trabalhar a partir daí...


P.S.: Vimos o Contacto, não o 2001 :wink:
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Mensagempor jap em Quinta Abr 10, 2008 9:24 pm

hexphreak Escreveu:A temperatura dentro da nave é mantida constante, ou também depende da pressão? :roll:


P.S.: Vimos o Contacto, não o 2001 :wink:


A temperatura é constante no interior da nave.

Eu sei que viram o "Contacto" no sessão mistério :lol:, mas muitos já tinham visto o filme 2001... :lol:
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Mensagempor hexphreak em Quinta Abr 10, 2008 9:40 pm

Assumindo então que a temperatura é constante, obtenho:

\frac{P}{P_0} = e^{M \omega^2 r^2 / 2RT}

Que se parece portar bem à medida que r aumenta :)


P.S.: A expressão também contém \omega, mas isso parece-me inevitável... :roll:
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Mensagempor jap em Quinta Abr 10, 2008 9:45 pm

hexphreak Escreveu:Assumindo então que a temperatura é constante, obtenho:

\frac{P}{P_0} = e^{M \omega^2 r^2 / 2RT}

Que se parece portar bem à medida que r aumenta :)


P.S.: A expressão também contém \omega, mas isso parece-me inevitável... :roll:


Muito bem, mas há que eliminar\omega! :P
Não te esqueças que a aceleração para r = R_0 é \rm 10~ms^{-2}! :wink:
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Mensagempor hexphreak em Quinta Abr 10, 2008 9:50 pm

Ah claro, esqueci-me de considerar todos os dados... Nesse caso, parece-me que só temos que aplicar a_0 = \omega^2 R_0 = 10\,\mbox{m\,s^{-2}} e substituir na exponencial :)
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Mensagempor jap em Quinta Abr 10, 2008 10:03 pm

hexphreak Escreveu:Ah claro, esqueci-me de considerar todos os dados... Nesse caso, parece-me que só temos que aplicar a_0 = \omega^2 R_0 = 10\,\mbox{m\,s^{-2}} e substituir na exponencial :)


Isso! :hands:

Já agora, se e quando tiveres tempo, \TeX\rm a aqui a tua resolução, para a posteridade. :wink:
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Mensagempor hexphreak em Quinta Abr 10, 2008 10:18 pm

Então cá vai :D

Há duas relações fundamentais a utilizar aqui: uma delas é a lei dos gases ideias, PV = nRT, e a segunda é o diferencial de pressão hidrostática, dP = -\rho g dr. Note-se que aqui g é simplesmente a aceleração gravítica naquele ponto, e não necessariamente a aceleração gravítica à superfície da Terra :wink:

Para relacionarmos estas duas expressões, note-se que como n/V = \rho / M podemos reescrever a lei dos gases ideias como:

\rho = \frac{MP}{RT}

E substituindo então no diferencial de pressão:

\frac{dP}{P} = -\frac{Mg}{RT} dt

Para podermos integrar e obter a pressão, precisamos de descobrir g. Para isso, utilizamos a relação da aceleração centrípeta:

g = -\omega^2 r

E estamos agora prontos para integrar:

\int_{P_0}^P \frac{dP}{P} = \frac{M\omega^2}{RT} \int_0^r r dr

Fazendo as contas e aplicando a exponencial a ambos os lados da equação, ficamos então com...

\frac{P}{P_0} = e^{M\omega^2 r^2 / 2RT}

Para ficarmos com uma expressão em função de R_0, utilizamos outra vez a relação da aceleração centrípeta, mas desta vez em R_0:

10\,\mbox{m\,s^{-2}} = \omega^2 R_0

E pudemos finalmente substituir no argumento da exponencial, obtendo a expressão final :D
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Mensagempor jap em Quinta Abr 10, 2008 10:21 pm

Obrigado, Henrique! :friends:
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Mensagempor luisdias em Sábado Abr 12, 2008 6:00 pm

Desculpem, mas o que são gases perfeitos? E o que é a constante dos gases perfeitos?

:oops:
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Mensagempor hexphreak em Sábado Abr 12, 2008 7:21 pm

Nunca estudaste isso no 10º ano? :? Um gás perfeito é um gás ideal, um modelo simplificado dos gases reais no qual as partículas não têm volume, todas as colisões são elásticas e não há forças intermoleculares. Adicionalmente, obedecem à seguinte equação de estado, chamada lei dos gases ideais:

PV = nRT

onde P é a pressão, V o volume, n a quantidade de substância, T a temperatura absoluta e R a constante dos gases ideais, aproximadamente 8.314\,\mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}} :)
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Mensagempor luisdias em Domingo Abr 13, 2008 10:14 am

Nunca estudaste isso no 10º ano?


Não :shock: Era suposto ter aprendido isso :?:

Bom não interessa, agora já sei o que são.

Obrigado :wink:
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Mensagempor luisdias em Domingo Abr 13, 2008 10:33 am

Já agora, que me esqueci, como é que obtiveste o diferencial da pressão? Isso não provem da expressão: P=\rho g h?

Ou melhor, como é que vocês fazem cálculos com diferenciais? :oops:
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Mensagempor hexphreak em Domingo Abr 13, 2008 1:20 pm

luisdias Escreveu:Já agora, que me esqueci, como é que obtiveste o diferencial da pressão? Isso não provem da expressão: P=\rho g h?

Sim. Pensa no diferencial de pressão como se fosse a variação de pressão quando \Delta h se torna muito pequeno, tão pequeno que lhe chamamos dh :wink:

luisdias Escreveu:Ou melhor, como é que vocês fazem cálculos com diferenciais? :oops:

Como os faríamos com outra quantidade qualquer (excepto em alguns casos raros). Depois, o mais frequente é separar as variáveis, como eu fiz acima, e integrar :)
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