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Calcular a velocidade angular

MensagemEnviado: Terça Mar 18, 2008 11:39 pm
por GNE
Defrontei-me com este problema, aqui há dias, e achei-o interessante. Aqui vai o enunciado:

Atado com uma corda, faz-se girar um cubo com água, de tal maneira que descreva uma circunferência na vertical. Qual deve ser a velocidade angular mínima para que não se verta a água contida no cubo, tendo em conta que o comprimento da corda é de 30 cm?

:wink:

MensagemEnviado: Terça Mar 18, 2008 11:44 pm
por sagardipak
Para que a água não caia, é preciso que a resultante das forças nela exercida, no momento em que está na vertical, seja nula.

Então, a força centrífuga (F_C) tem de ser igual, em módulo, à gravítica (F_G).

F_C = F_G \Leftrightarrow
ma = mg \Leftrightarrow a = g

Como a aceleração num movimento circular uniforme é dada por a = \omega^2 r,

g = \omega^2 r \Leftrightarrow \omega = \sqrt{\frac{g}{r}}

Substituindo,

\omega = 5,7 \rm rad s^{-1}

MensagemEnviado: Terça Mar 18, 2008 11:48 pm
por GNE
sagardipak Escreveu:Para que a água não caia, é preciso que a resultante das forças nela exercida, no momento em que está na vertical, seja nula.

Então, a força centrípeta (F_C) tem de ser igual, em módulo, à gravítica (F_G).

F_C = F_G \Leftrightarrow
ma = mg \Leftrightarrow a = g

Como a aceleração num movimento circular uniforme é dada por a = \omega^2 r,

g = \omega^2 r \Leftrightarrow \omega = \sqrt{\frac{g}{r}}

Substituindo,

\omega = 5,7 \rm rad s^{-1}


Extraordinário! Demorei muito mais tempo a resolvê-lo que tu. Estás em alguma carreira ligada à física?

MensagemEnviado: Terça Mar 18, 2008 11:49 pm
por jap
Obrigado Pedro!

É um problema simples (no referencial quarkiano!) mas interessante!

Depois de resolverem esse, aqui vai uma variante ligeiramente mais tricky:

Todos conhecem esta exercício, onde o ginasta "ganha" balanço...

Imagem

Qual é a velocidade angular mínima com que o ginasta deve passar no ponto mais baixo da trajectória girar para conseguir fazer este exercício?
(Nota: a velocidade angular não é constante! Porquê? :roll: )

Dados:

Massa do ginasta: m =\rm  70~kg
Comprimento: L =\rm  2,10~m (esticado, dos pés às mãos, como mostra a figura)

Ignorem atritos e tratem o ginasta como um "corpo rígido" - enfim, sabem o que eu quero dizer... :lol:

MensagemEnviado: Terça Mar 18, 2008 11:53 pm
por sagardipak
GNE Escreveu:Extraordinário! Demorei muito mais tempo a resolvê-lo que tu. Estás em alguma carreira ligada à física?


Na verdade, é uma questão de estar habituado. Estou no 11º ano, como tu. Mas sabendo por onde pegar, torna-se tudo mais fácil :wink:

MensagemEnviado: Terça Mar 18, 2008 11:59 pm
por GNE
Como a velocidade angular de um corpo em movimento circular expressa o ângulo percorrido por unidade de tempo. Sendo o ângulo sempre o mesmo, acredito que a velocidade angular não é constante pois o ângulo percorrido não é periódico.

MensagemEnviado: Quarta Mar 19, 2008 12:08 am
por hexphreak
jap Escreveu:Qual é a velocidade angular mínima com que o ginasta deve passar no ponto mais baixo da trajectória girar para conseguir fazer este exercício?

Acho que me armei em Rambo com este :lol: Mas será a resposta:

\omega^2 = \frac{3}{2} \frac{g}{L}

MensagemEnviado: Quarta Mar 19, 2008 12:08 am
por sagardipak
Como não tenho a certeza do meu raciocínio, ponho só aqui o resultado:

\omega = 4.3 \rm rad.s^{-1}

Está, ao menos, aproximado?

MensagemEnviado: Quarta Mar 19, 2008 12:16 am
por jap
Estão lá perto, mas nenhum dos dois deu a resposta exacta. :P

MensagemEnviado: Quarta Mar 19, 2008 12:19 am
por hexphreak
Tinha de ser :lol: Bem, por conservação de energia deu-me \omega^2 = 6\frac{g}{L}, embora 6 seja um número suspeito :P

MensagemEnviado: Quarta Mar 19, 2008 12:22 am
por GNE
O resultado que me deu foi:

W = 2.18 rads-1

MensagemEnviado: Quarta Mar 19, 2008 12:26 am
por jap
hexphreak Escreveu:Tinha de ser :lol: Bem, por conservação de energia deu-me \omega^2 = 6\frac{g}{L}, embora 6 seja um número suspeito :P


Suspeito? Não, é o número correcto! :hands:

Posta aqui a resolução!

Portanto, \omega = \sqrt{\frac{6g}{l}}=\rm 5,3~rad s^{-1}.

E já agora, para chegarem a uma conclusão surprendente:

Qual é a força que o ginasta exerce sobre o suporte nos pontos a) mais alto e b) mais baixo da trajectória? Ele empurra ou puxa a trave? :roll:

PS: já agora, expressem a força que o ginasta exerce na barra em unidades de peso do ginasta, que fica mais giro! :P

MensagemEnviado: Quarta Mar 19, 2008 12:31 am
por hexphreak
Pronto, já gosto do 6 :D

É só aplicar a conservação de energia: no ponto mais alto, a velocidade angular é zero, e no ponto mais baixo a energia potencial é nula por definição. Ou seja, tendo em conta que a distância do CM no ponto mais baixo ao CM no ponto mais alto é L:

\frac{1}{2}I\omega^2 = mgL

E, sabendo que I = \frac{1}{3}mL^2, obtemos \omega^2 = \frac{6g}{L} :D

Quanto à força: intuitivamente parece-me que ele puxa sempre a barra, mas para o Prof. perguntar... :P Tenho de pensar nisso com mais calma.

MensagemEnviado: Quarta Mar 19, 2008 12:39 am
por Ivo_Timóteo
Só para ficar mais bonito(ou talvez não), esse movimento, na gíria da ginastica, é o que se chama de "gigante"!

MensagemEnviado: Quarta Mar 19, 2008 12:46 am
por jap
Ivo_Timóteo Escreveu:Só para ficar mais bonito(ou talvez não), esse movimento, na gíria da ginastica, é o que se chama de "gigante"!


Sim, é isso mesmo! :D

Bem tu sabes a força que é preciso exercer ... (o Ivo foi ginasta!) :lol: e as contas vão mostrar porque é que há por vezes acidentes com os pulsos... :?