Colisão elástica

Neste arquivo iremos colocar os problemas já resolvidos (não são problemas "mortos" porque a discussão pode continuar a qualquer altura!)

Mensagempor manuelmarque em Sábado Fev 02, 2008 4:32 pm

pmp Escreveu:Acho que sei a que exercício te referes. :wink:


Ai, pois sabes... e eu não fiz aquilo direito... argh, troquei um sinal :P.
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Mensagempor jap em Sábado Fev 02, 2008 5:55 pm

Então, ainda sobre coeficientes de restituição, resolvam lá este problema que, acreditem, foi também colocado aos caloiros das aulas de Física do Feynman, em Caltech (1963).

Deixamos cair uma pequena bola de aço sobre uma superfície plana, também de aço, de uma altura de 50 cm. Um microfone regista num gravador o som dos ressaltos. A análise da gravação mostre que o som termina após 30 s de se deixar cair a bola.

Qual é o coeficiente de restituição nestes choques? :roll:

Há quem tenha feito *mesmo* a experiência...

Consta que os caloiros ficaram surpreendidos com este problema porque...não vou contar, fico à espera das vossas respostas! :P
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Mensagempor miranda_henrique em Segunda Fev 11, 2008 10:27 pm

Ora Viva!

Acho que descobri a solução para este problema por favor avisem se tiver algum erro. :D

A ideia principal é que à medida que as colisões se seguem, o tempo que a bola fica no ar é cada vez menor, obtemos uma expressão soma para o tempo entre as colisões dependente da elasticidade c e depois de saber que a soma tem de ser 30 s, achamos o valor da elasticidade.

Para isso consideramos o tempo de queda na antes da primeira colisão, ou seja:
$t = \frac{1}{\sqrt{g}}$.

Depois o somatório do tempo t_{total} entre as outras n colisões:
\displaystyle t_{total} = \sum_{i=1}^n \frac {2c^n}{\sqrt{g}}

O que pode ser "traduzido" pela expressão:
t_{total} = \bigg( \frac{2}{\sqrt{g}} \; \frac{c^n-1}{c-1} \bigg) - \frac{2}{\sqrt{g}}

Fazendo o soma do tempo antes da primeira colisão com o tempo das seguintes obtemos a seguinte expressão em função de n:
t_{total} = \bigg( \frac{2}{\sqrt{g}} \; \frac{c^n-1}{c-1} \bigg) - \frac{1}{\sqrt{g}}

Calculando o limite quando o numero de colisões n tende para infinito e resolvendo em ordem a c:
c=\frac{t_{total}\sqrt{g}-1}{t_{total}\sqrt{g}+1}

Substituindo o t_{total} por 30 s, podemos obter o valor da elasticidade:
c=0.9789
última vez editado por miranda_henrique s Segunda Fev 11, 2008 11:19 pm, editado 1 vez no total
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Mensagempor jap em Segunda Fev 11, 2008 11:18 pm

Parabéns,

É isso mesmo! :hands:
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Mensagempor hexphreak em Segunda Fev 11, 2008 11:24 pm

Não percebi muito bem quando passas do somatório para a expressão seguinte (ainda não demos as séries), podias explicar só por alto? :)
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Mensagempor sagardipak em Segunda Fev 11, 2008 11:29 pm

Eii, eu explico, eu explico :P

Quanto dá isto?
(1+x+x^2+x^3+...+x^n)(x-1)

Chegas lá num instante :wink:
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Mensagempor miranda_henrique em Segunda Fev 11, 2008 11:42 pm

hexphreak Escreveu:Não percebi muito bem quando passas do somatório para a expressão seguinte (ainda não demos as séries), podias explicar só por alto? :)


Concereza :D

Considera então \displaystyle p = \sum_{i=1}^{n} r^{i-1}

Sabendo que:
(r-1)p = rp-p

Substituindo:
(r-1)p = (r+r^2+r^3+...+r^n)-(1+r+r^2+...+r^{n-1})
(r-1)p = (r^n-1)
p=\frac{r^n-1}{r-1}
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Mensagempor hexphreak em Segunda Fev 11, 2008 11:43 pm

x^{n+1}-1? :roll:

Ah já percebi, obrigado aos dois :D
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Mensagempor sagardipak em Segunda Fev 11, 2008 11:44 pm

Bem, ele já explicou, ora bolas :P
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Mensagempor sagardipak em Segunda Fev 11, 2008 11:47 pm

Estás a dar fracções racionais em matemática? Podes chatear o teu professor usando este "truque" de vez em quando, em vez da regra de Ruffini :P

Já agora, não querendo ser chato... Mas por uma universalizabilidade de escrita, cuidado com os índices nos somatórios. O que queres realmente dizer é

\displaystyle p = \sum_{i=1}^{n} r^{i-1}

Queres a soma de todos os r^{i-1} tais que i varia entre 1 e n. :)
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Mensagempor miranda_henrique em Terça Fev 12, 2008 12:05 am

sagardipak Escreveu:Estás a dar fracções racionais em matemática? Podes chatear o teu professor usando este "truque" de vez em quando, em vez da regra de Ruffini :P

Já agora, não querendo ser chato... Mas por uma universalizabilidade de escrita, cuidado com os índices nos somatórios. O que queres realmente dizer é

\displaystyle p = \sum_{i=1}^{n} r^{i-1}

Queres a soma de todos os r^{i-1} tais que i varia entre 1 e n. :)


Tens toda a razão, aliás não fazia sentido como estava escrito (lá se escapou...). :wink:

Obrigado pela correcção. :D
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Mensagempor sagardipak em Terça Fev 12, 2008 12:08 am

Acontece :P Há que descontar as lavagens que já levei por causa de somatórios. Tenho de me vingar em todos os que conseguir! :twisted:

Mas fui um grande picuínhas. Parabéns pelo raciocínio que, no fundo, é o que interessa :wink:
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