A taça de gelado e o berlinde

Neste arquivo iremos colocar os problemas já resolvidos (não são problemas "mortos" porque a discussão pode continuar a qualquer altura!)

A taça de gelado e o berlinde

Mensagempor jap em Segunda Abr 02, 2007 10:26 pm

Como estamos em época de gulodices... :D

Imaginem um pequeno berlinde de raio r que rola, sem deslizar, no interior de uma enorme taça de gelado, com raio de curvatura R>> r. O movimento do berlinde é de pequena amplitude e faz-se num plano vertical.

Mostrem como período do movimento do berlinde está relacionado com r, R e a aceleração da gravidade, g! (da próxima vez que forem a um restaurante já têm uma boa desculpa para encomendar uma grande taça de gelado :lol: )
José António Paixão
Departamento de Física da FCTUC
Avatar do utilizador
jap
Site Admin
Site Admin
 
Mensagens: 6801
Registado: Quinta Nov 09, 2006 9:34 pm
Localização: Univ. de Coimbra

Mensagempor pmp em Terça Abr 03, 2007 4:11 pm

Obtive para o período:

T=2\pi\sqrt{\frac{7}{5}\frac{R}{g}} :)
Avatar do utilizador
pmp
down-Quark!
down-Quark!
 
Mensagens: 232
Registado: Segunda Nov 13, 2006 3:35 pm
Localização: Ponta Delgada/ Porto

Mensagempor jap em Terça Abr 03, 2007 6:47 pm

pmp Escreveu:Obtive para o período:

T=2\pi\sqrt{\frac{7}{5}\frac{R}{g}} :)


Está certo, Pedro! :hands:
Podes comer uma taça de gelado à conta das olimpíadas! :lol:

De uma forma mais geral, se a condição R >> r não for satisfeita,

T=2\pi\sqrt{\frac{7}{5}\frac{R-r}{g}}

Queres deixar aqui a tua solução? Eu depois deixarei a minha, se o caminho que usaste para resolver o problema for diferente do meu (talvez seja... :D )

PS - :omg: O Pedro Ponte a discursar de fato e gravata? Onde? Estamos curiosos.. 8)
José António Paixão
Departamento de Física da FCTUC
Avatar do utilizador
jap
Site Admin
Site Admin
 
Mensagens: 6801
Registado: Quinta Nov 09, 2006 9:34 pm
Localização: Univ. de Coimbra

Mensagempor jap em Terça Abr 10, 2007 10:27 pm

Bom, aqui vai a minha solução para este problema. Vou utilizar (apenas!) a conservação da energia - uma vez que o berlinde rola sem deslizar. :wink:

A energia do berlinde tem três componentes: energia cinética de translação do CM, energia de rotação em torno do CM e a energia potencial gravítica. A conservação da energia diz-nos então que


\frac{1}{2}mv^2+ \frac{1}{2}I\omega^2+ mgh = \rm const.

onde I= \frac{2}{5}mr^2 é o momento de inércia do berlinde em relação ao CM.

Por outro lado analisando a figura,


Imagem

vem que

h = (1-\cos \phi)(R-r) .

Para ângulos \phi pequenos, é válida a aproximação

\cos \phi \sim 1 -\frac{1}{2}\phi^2


e, consequentemente,

h = (R-r)\frac{\phi^2}{2}.

Se x for a distância percorrida pelo CM (positiva para a direita, negativa para a esquerda), vem ainda

\phi = \frac{x}{R-r}.

De tudo isto se conclui que

\frac{7}{10}mv^2 +m\frac{gx^2}{2(R-r)} = \rm const.

E agora o passo de mágica... :wink:


Derivem ambos os membros desta equação em ordem a t, não esquecendo que v e x são funções de t; obtemos
uma nova equação:

\frac{7}{5}mv\frac{dv}{dt} + \frac{mgx\frac{dx}{dt}}{R-r} = 0,

ou ainda (dividindo por vque é o mesmo que \frac{dx}{dt} !),

\frac{dv}{dt}= -\frac{5}{7}\frac{g}{R-r}x ,

que é uma equação de um oscilador MHS com frequência


\omega = \sqrt{\frac{5g}{7(R-r)}}
:D
Gostaram? :roll: E repararam com foi possível resolver o problema sem ter, sequer, de desenhar o diagrama de forças? :D


É claro que isto foi possível porque o sistema é conservativo; apesar de haver atrito entre o berlinde e a superfície, esta força de atrito não é dissipativa porque não há deslizamento...
última vez editado por jap s Terça Abr 10, 2007 11:18 pm, editado 2 vezes no total
José António Paixão
Departamento de Física da FCTUC
Avatar do utilizador
jap
Site Admin
Site Admin
 
Mensagens: 6801
Registado: Quinta Nov 09, 2006 9:34 pm
Localização: Univ. de Coimbra

Mensagempor pmp em Terça Abr 10, 2007 11:10 pm

Gostei bastante desta resolução! :D Obrigado, professor.
Avatar do utilizador
pmp
down-Quark!
down-Quark!
 
Mensagens: 232
Registado: Segunda Nov 13, 2006 3:35 pm
Localização: Ponta Delgada/ Porto


Voltar para Problemas resolvidos

Quem está ligado

Utilizadores a navegar neste fórum: Nenhum utilizador registado e 1 visitante

cron