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Campo eléctrico na vizinhança de um fio

MensagemEnviado: Domingo Set 26, 2010 10:19 am
por Bruno Oliveira
Este é um dos primeiros problemas de Electromagnetismo que tenho, e como o achei simultaneamente simples e interessante, decidi colocá-lo aqui:

Considerem um fio rectilíneo uniformemente carregado com densidade de carga \lambda.

Calculem o campo eléctrico em função da distância r ao fio.

Re: Campo eléctrico na vizinhança de um fio

MensagemEnviado: Domingo Set 26, 2010 10:40 am
por hexphreak
Muito simples, de facto. É um dos primeiros exemplos da lei de Gauss das aulas da Prof. Lucília (e de qualquer cadeira/livro de EM, claro). Vou deixar para quem ainda não conhecer :)

Re: Campo eléctrico na vizinhança de um fio

MensagemEnviado: Domingo Set 26, 2010 11:25 am
por Bruno Oliveira
Eu não o conhecia antes de o fazer, mas como gostei tanto do método que usámos na nossa aula de EM, achei-o digno de ser postado aqui no fórum! :lol:

E acredito que haja exemplos ainda mais interessantes! Com o tempo, e assim que os for aprendendo posso ir postando aqui! :wink:

Abraço

Re: Campo eléctrico na vizinhança de um fio

MensagemEnviado: Domingo Set 26, 2010 7:07 pm
por Simbelmyne
fio infinito?

Re: Campo eléctrico na vizinhança de um fio

MensagemEnviado: Domingo Set 26, 2010 10:49 pm
por Bruno Oliveira
O resultado é independente do comprimento do fio... Mas para efeitos de contas podes considerá-lo infinito que foi o que eu fiz... :P

Re: Campo eléctrico na vizinhança de um fio

MensagemEnviado: Segunda Set 27, 2010 7:00 pm
por hexphreak
Bruno Oliveira Escreveu:O resultado é independente do comprimento do fio... Mas para efeitos de contas podes considerá-lo infinito que foi o que eu fiz... :P

Deves-te ter enganado nas contas, porque o resultado depende do comprimento... Embora para um fio infinito possas usar a lei de Gauss devido às simetrias, e tens o resultado em duas linhas, para um fio de comprimento finito, digamos 2L, tens mesmo que integrar o campo eléctrico (ou o potencial e depois calcular o gradiente). Para além disso, depende da posição do ponto ao longo do fio, sendo o problema "típico" calcular o campo no ponto médio.

Re: Campo eléctrico na vizinhança de um fio

MensagemEnviado: Segunda Set 27, 2010 7:43 pm
por Bruno Oliveira
Não, Henrique, não me enganei nas contas, obtenho mesmo o resultado correcto! Mas estou a dizer que, nas minhas contas, considerei o fio infinito, mas para "montar" o integral que me resolve o problema, considerei um troço de comprimento L no fio... Ou seja, imaginei duas cargas separadas de uma distância L, a criarem um campo a uma distância r do fio... No caso do fio infinito, o resultado não depende do comprimento do fio, no caso finito, já depende, mas o que se quer aqui é fio infinito daí ter dito que o resultado não depende do comprimento.. my bad :P

Re: Campo eléctrico na vizinhança de um fio

MensagemEnviado: Segunda Jan 17, 2011 8:41 am
por ampat
Pois bem, apenas para postar a resolução...

Como apresentado o problema e assumindo que o espaço é simétrico( :D ), podemos assumir que o campo electrico \vec{E} é radial em relação à linha e que, portanto, o seu módulo é constante em pontos equidistantes da linha.

Consideremos agora para superfície gaussiana uma superfície cilíndrica S coaxial com a linha de raio r e, por simplicidade, com comprimento 1( à falta de unidades específicas para o problema ). De acordo com a lei de Gauss( na sua forma integral ), o fluxo do campo através de S é proporcional à carga no seu interior, ou mais precisamente:

\\\int\int_{S}{\vec{E}\cdot \vec{n}\,dS}=\frac{q_{int}}{\epsilon_0}

onde q_{int} é a carga no interior da gaussiana, logo q_{int}= \lambda.

Uma vez que assumimos simetria radial em torno da linha e magnitude do campo constante em pontos equidistantes, temos evidentemente que

\\\int\int_{S}{\vec{E}\cdot \vec{n}\,dS}= 2\pi r |\vec{E}|

Logo,

\vec{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{2\lambda}{r}\hat{r}

Isto é, a intensidade do campo eléctrico varia inversamente com a distância à linha.


Um problema semelhante a este será calcular o campo eléctrico num ponto a uma distância z do ponto médio de um segmento de recta com comprimento 2L e que carrega uma densidade de carga linear uniforme \lambda.

Depois pode-se usar o resultado para calcular o campo a uma distância z do ponto médio de um loop quadrado com densidade linear de carga \lambda e passar deste para o cálculo do campo devido a um quadrado. Este último permite ainda calcular o campo de um plano infitio. :D

Re: Campo eléctrico na vizinhança de um fio

MensagemEnviado: Segunda Jan 17, 2011 1:02 pm
por hexphreak
Obrigado André, está correcto :)

ampat Escreveu:Um problema semelhante a este será calcular o campo eléctrico num ponto a uma distância z do ponto médio de um segmento de recta com comprimento 2L e que carrega uma densidade de carga linear uniforme \lambda.

Nem precisa de ser no ponto médio, podes fazer num ponto qualquer do espaço. Embora as contas não sejam muito bonitas :P

ampat Escreveu:Este último permite ainda calcular o campo de um plano infitio. :D

Nunca tinha pensado em usar quadrados para isso. Habitualmente usam-se anéis (circulares) ou directamente a lei de Gauss, com uma "caixinha" paralela ao plano. A última é, claro, a forma que dá menos contas :wink: