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corrente longa

MensagemEnviado: Sexta Jun 04, 2010 2:06 am
por lucas_vig
Uma massa M, ligada a uma extremidade de uma corrente muito longa com massa m por unidade de comprimento, é lançada verticalmente para cima com velocidade v. Mostre que a altura máxima atingida por M é h = (M/m)[∛(1+(3mv^2)/2Mg)-1]

Re: corrente longa

MensagemEnviado: Segunda Jun 07, 2010 7:13 pm
por grizzlyjoker
Boas, eu sei que não costumo postar no fórum mas pediram me que desse uma olhadela a este problema e aqui vai:

Seja m=M+\lambda \cdot y (1), em que \lambda é a densidade linear da corrente, papel desempenhado por m no enunciado e

\frac{dp}{dt}=\frac{dp}{dm}\cdot \frac{dm}{dy}\cdot \frac{dy}{dt}=\frac{dp}{dm}\cdot \lambda\cdot v=F=-m\cdot g (2)

(A razão porque uso m como a minha variável independente é que se derivar em ordem a t e depois continuar obtenho uma equação muito + complicada do que a que obtenho usando m como a minha variável independente.)

Temos também que:

\frac{dp}{dm}=\frac{d(m\cdot v)}{dm}=v+m\cdot \frac{dv}{dm} (3)

Substituindo (3) em (2) vem que:

\left(v+m\cdot \frac{dv}{dm} \right) \cdot \lambda \cdot v = -m\cdot g

Ou:

v^2+m\cdot v\cdot \frac{dv}{dm}+\frac{m\cdot g}{\lambda}=0

Fazendo z=\frac{1}{2}\cdot v^2 vem que:

m\cdot v \cdot \frac{dv}{dm}= m\cdot \frac {d(\frac{1}{2}\cdot v^2)}{dm}=m\cdot \frac{dz}{dm}

Assim vem que:

2\cdot z+m\cdot \frac{dz}{dm}+\frac{m\cdot g}{\lambda}=0 ou

\frac{dz}{dm}=-\left(2\cdot \frac{z}{m}+\frac{g}{\lambda} \right)

No entanto apesar da equação estar simplificada ainda não a conseguimos resolver, assim sendo fazemos a substituição:

x=\frac{z}{m} ou z=m\cdot x e vem que: \frac{dz}{dm}=x+m\cdot \frac{dx}{dm}

Podemos agora escrever uma nova equação:

x+m\cdot \frac{dx}{dm}=-\left(2\cdot x+\frac{g}{\lambda} \right)

Ou simplificando:

m\cdot \frac{dx}{dm}=-\left(3\cdot x+\frac{g}{\lambda} \right)

Separando variáveis vem:

\frac{1}{3}\cdot \frac{dx}{x+\frac{g}{3\cdot \lambda}}=-\frac{dm}{m}

Integrando vem que:

\frac{1}{3}\cdot \ln\left(x+\frac{g}{3\cdot \lambda}\right)+C_{1}=\ln\left(\frac{1}{m}\right)+C_{2}

Ou:

\ln\left(x+\frac{g}{3\cdot \lambda}\right)+C=\ln\left(\frac{1}{m^3}\right)

Aplicando o exponencial a ambos os lados vem:

\left(x+\frac{g}{3\cdot \lambda} \right)\cdot C=\frac{1}{m^3}

Pondo em ordem a x:

x=\frac{C-g\cdot m^3}{3\cdot \lambda\cdot m^3}

x=\frac{z}{m}=\frac{v^2}{2\cdot m} logo:

\frac{v^2}{m}=\frac{C-2\cdot g\cdot m^3}{3\cdot \lambda \cdot m^3}

Simplificando:

v^2=\frac{C-2\cdot g\cdot m^3}{3\cdot \lambda\cdot m^2}

Usando as condições iniciais que quando t=0 \ \ \ v=v_{0} \ e \ \   m=M:

v_{0}=\frac{C-2\cdot g\cdot M^3}{3\lambda \cdot M^2}\ \Rightarrow \ C= 3\lambda\cdot M^2\cdot v_{0}^{2}+2\cdot g\cdot M^3

Logo:

v^2=\frac{3\lambda\cdot M^2\cdot v_{0}^{2}+2\cdot g\cdot M^3-2\cdot g\cdot m^3}{3\cdot \lambda\cdot m^2}

Quando a altura atingida é máxima a velocidade é igual a zero e m=M+\lambda\cdot h_{max}:

\left 3\cdot \lambda\cdot M^2+2\cdot g\cdot M^3-2\cdot g\cdot m^3=0 \Rightarrow \\ \frac{3\cdot \lambda \cdot v_{0}^{2}}{2\cdot M\cdot g}+1=\frac{m^3}{M^3}

Simplificando:

m=M\cdot \sqrt[3]{1+\frac{3\cdot \lambda \cdot v_{0}^{2}}{2\cdot M\cdot g}}

\left M+\lambda\cdot h_{max}=M\cdot \sqrt[3]{1+\frac{3\cdot \lambda \cdot v_{0}^{2}}{2\cdot M\cdot g}}\Rightarrow \\ \lambda\cdot h_{max}=M\cdot \sqrt[3]{1+\frac{3\cdot \lambda \cdot v_{0}^{2}}{2\cdot M\cdot g}}-M

Finalizando:

h_{max}=\frac{M}{\lambda}\cdot \left(\sqrt[3]{1+\frac{3\cdot \lambda \cdot v_{0}^{2}}{2\cdot M\cdot g}} -1\right) Q.E.D

Desculpem pela resposta enorme :oops: e se houver algum erro avisem.

Re: corrente longa

MensagemEnviado: Segunda Jun 07, 2010 10:58 pm
por jap
Oh, os clássicos problemas de cordas! :mock:

Re: corrente longa

MensagemEnviado: Terça Jun 08, 2010 2:20 pm
por grizzlyjoker
Professor não há um método mais elegante para resolver este tipo de problemas? É que o meu parece um bocado brute force :roll: