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Tábua no lago

MensagemEnviado: Domingo Mar 14, 2010 3:29 pm
por jap
Uma tábua de madeira, homogénea, flutua num lago tal como mostra a figura. Uma das extremidades da tábua está presa a uma corda no fundo do lago.

Determinem a densidade da madeira! :mock:

Imagem

Re: Tábua no lago

MensagemEnviado: Domingo Mar 14, 2010 3:59 pm
por joao_moreira
Numa resposta totalmente intuitiva, a densidade da madeira é metade da densidade do fluido. A corda só está lá para atrapalhar.

Re: Tábua no lago

MensagemEnviado: Domingo Mar 14, 2010 4:08 pm
por jap
joao_moreira Escreveu:Numa resposta totalmente intuitiva, a densidade da madeira é metade da densidade do fluido. A corda só está lá para atrapalhar.


O fluido é a água do lago que podem assumir que tem densidade 1.

Re: Tábua no lago

MensagemEnviado: Domingo Mar 14, 2010 8:22 pm
por Tharis
Eu diria que a densidade da madeira é metade da da água. Será?

Re: Tábua no lago

MensagemEnviado: Domingo Mar 14, 2010 8:40 pm
por joao_moreira
Foi o que eu disse em cima, considerei que a corda apenas obriga a tábua a rodar e assim a percentagem de tábua imersa manter-se-ia a mesma, mas ainda não o consegui demonstrar ou sequer afirmar com certezas. Neste caso a densidade da madeira seria 0,5 kg/dm^{3}. :roll:

Re: Tábua no lago

MensagemEnviado: Domingo Mar 14, 2010 10:02 pm
por jap
Tharis Escreveu:Eu diria que a densidade da madeira é metade da da água. Será?


Sorry, :no !

Re: Tábua no lago

MensagemEnviado: Domingo Mar 14, 2010 10:16 pm
por Mário Gomes
Sem entrar em cálculos, diria que este problema se pode resolver considerando o torque de todas as forças nulo em relação ao ponto onde a corda está ligada à tábua (assim o torque da tensão é igual a zero). Assim, estando a Impulsão aplicada no centro de impulsão e a força gravítica no centro de massa do corpo, podemos calcular a densidade da madeira :wink:

Re: Tábua no lago

MensagemEnviado: Domingo Mar 14, 2010 10:20 pm
por Bruno Oliveira
Tharis e joao_moreira, vocês ainda só tentaram dar uma resposta intuitiva? :roll:

Eu não sei agora as fórmulas todas da mecânica de fluidos, mas visto que o sistema tábua+corda está em equilibrio estático, tentem montar a equação de equilibrio:

P + T_c - I = 0

onde P é o peso da tábua, T_c a tensão na corda e I a impulsão e tentem trabalhar a partir daí... Só uma ideia... :wink:

Re: Tábua no lago

MensagemEnviado: Domingo Mar 14, 2010 11:02 pm
por jap
Mário Gomes Escreveu:Sem entrar em cálculos, diria que este problema se pode resolver considerando o torque de todas as forças nulo em relação ao ponto onde a corda está ligada à tábua (assim o torque da tensão é igual a zero). Assim, estando a Impulsão aplicada no centro de impulsão e a força gravítica no centro de massa do corpo, podemos calcular a densidade da madeira :wink:


:hands: Agora, toca a fazer as contas! :D

Re: Tábua no lago

MensagemEnviado: Segunda Mar 15, 2010 8:06 pm
por Bibs
Se não me tiver enganado nos cálculos, deu-me \rho=\frac{\rho_{fluido}}{3} :wink:

Re: Tábua no lago

MensagemEnviado: Segunda Mar 15, 2010 8:19 pm
por Tharis
@Mário Gomes, foi exactamente o que eu fiz, só que fiz de cabeça e por isso posso ter-me enganado. Já vou ver se chego ao mesmo valor que o Bruno. ;)

EDIT: Cheguei ao mesmo valor que o Bruno. :) Tinha-me enganado numa coisa mesmo parva. :P

Re: Tábua no lago

MensagemEnviado: Quarta Mar 17, 2010 6:36 pm
por jap
Bibs Escreveu:Se não me tiver enganado nos cálculos, deu-me \rho=\frac{\rho_{fluido}}{3} :wink:


Correcto! :hands:

Já agora, se quiserem deixar aqui a solução... :wink:

Re: Tábua no lago

MensagemEnviado: Quarta Mar 17, 2010 7:34 pm
por Tharis
Como disse o Mário fazemos o somatório dos torques em relação ao ponto onde a corda prende o objecto de modo a que a tensão desapareça.

\sum \tau_i = 0 \Leftrightarrow \sum F_i d_i \sin \alpha_i = 0

O centro de massa do corpo é o seu centro geométrico e o centro de impulsão é o baricentro da parte submersa (triângulo), que se pode chegar facilmente à conclusão que dista \frac{l}{3} do ponto de contacto entre a corda e o objecto, em que l é o comprimento do corpo.

P\frac{l}{2} \sin \alpha - I\frac{l}{3} \sin \alpha = 0 \Leftrightarrow

Os senos desaparecem pois tanto o Peso como a Impulsão estão na mesma direcção e consequentemente formam ângulos iguais com o comprimento do corpo. Substituindo as forças por expressões com as densidades, ficamos com

\rho_c V g \frac{l}{2} = \rho_f \frac{V}{2} g \frac{l}{3} \Leftrightarrow

em que \rho_c é a densidade do corpo, V o volume do corpo e \rho_f a densidade do fluido. Simplificando obtem-se

\rho_c = \frac{\rho_f}{3}

NOTA: As distâncias são apenas na direcção paralela ao comprimento do corpo.

Re: Tábua no lago

MensagemEnviado: Quinta Mar 18, 2010 5:30 pm
por jap
Obrigado! :friends:

Re: Tábua no lago

MensagemEnviado: Quinta Mar 18, 2010 7:07 pm
por telmomo
Tenho acompanhado a resolução deste exercício e confesso que isso do torque ainda ma baralha um bocado...