Equilíbrio estático surpreendente

Neste arquivo iremos colocar os problemas já resolvidos (não são problemas "mortos" porque a discussão pode continuar a qualquer altura!)

Equilíbrio estático surpreendente

Mensagempor jap em Segunda Out 12, 2009 9:54 pm

Considerem a situação da figura, onde uma corda de comprimento L e massa desprezável se encontra fixa em dois pontos A e B, estando B deslocado horizontalmente de A por uma distância w < L e verticalmente de uma distância h< \sqrt{L^2-w^2}. Uma massa m é pendurada na corda usando uma roldana móvel de massa desprezável. A roldana não tem atrito e pode deslocar-se livremente ao longo da corda, até que "encontra" a posição de equilíbrio, na qual a roldana se encontra a uma distância horizontal x, do ponto A, e a uma distância vertical y, desse mesmo ponto.

Imagem

Pergunto:

a) Quais são os ângulos de equilíbrio \theta_1 e \theta_2 ?
b) Quais são os valores de x , y, L_1 e L_2 no equilíbrio?

O resultado é surpreendente! :D
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Re: Equilíbrio estático surpreendente

Mensagempor Bibs em Quinta Out 29, 2009 10:19 pm

Ao fim de alguns cálculos obtive os resultados:

\sin {\theta_1}=\sin{\theta_2}=\frac{w}{L}

y=\frac{L^2-w^2-h^2}{2\sqrt{L^2-w^2}-2h}

L_1=L\frac{L^2-w^2-h^2}{2L^2-2w^2-2h\sqrt{L^2-w^2}}

x=w\frac{L^2-w^2-h^2}{2L^2-2w^2-2h\sqrt{L^2-w^2}}

L_2=L-L_1

Será isto? :)
Aborreceu-me fazer as contas para L_2 :roll: , mas também pode-se chegar ao valor através da semelhança de triângulos, já que \theta_1=\theta_2.
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Re: Equilíbrio estático surpreendente

Mensagempor jap em Quinta Out 29, 2009 11:03 pm

Obrigado pela resolução.

A primeira equação, pelo menos, parece-me correcta (fiz os cálculos mas não os encontro, terei de os repetir). O que é que achas que há de extraordinário (surpreendente) nos resultados que encontraste? :P
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Re: Equilíbrio estático surpreendente

Mensagempor Bruno Oliveira em Quinta Out 29, 2009 11:29 pm

Eu não fiz as contas... :roll:

Mas olhando para os resultados do Bruno, vê-se que {L_1 \over L} = {x \over w}.

Se calhar, estou-me a aproveitar demasiado dos resultados obtidos pelo Bruno :oops: , mas podemos concluir que:
L_2= L\,\left(1 - {L^2 - w^2 - h^2 \over 2L^2 - 2w^2 -2h\,\times \, \sqrt{L^2 - w^2}} \right)

Com mais umas manipulaçoes algébricas (se calhar, redundantes) obtém-se:

1- {L_1 \over L} = \left(1 - {L^2 - w^2 - h^2 \over 2L^2 - 2w^2 -2h\,\times \, \sqrt{L^2 - w^2}} \right)
última vez editado por Bruno Oliveira s Quinta Out 29, 2009 11:51 pm, editado 1 vez no total
e^{ix}=cos x + i\,sin x
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Re: Equilíbrio estático surpreendente

Mensagempor jap em Quinta Out 29, 2009 11:50 pm

Bibs Escreveu:Ao fim de alguns cálculos obtive os resultados:

\sin {\theta_1}=\sin{\theta_2}=\frac{w}{L}

y=\frac{L^2-w^2-h^2}{2\sqrt{L^2-w^2}-2h}

L_1=L\frac{L^2-w^2-h^2}{2L^2-2w^2-2h\sqrt{L^2-w^2}}

x=w\frac{L^2-w^2-h^2}{2L^2-2w^2-2h\sqrt{L^2-w^2}}

L_2=L-L_1


Destas equações, acho a 1ª a mais interessante... :lol: O que é que ela significa? :roll:
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Re: Equilíbrio estático surpreendente

Mensagempor Bruno Oliveira em Quinta Out 29, 2009 11:57 pm

Amanhã verei melhor as implicações disto! :P
última vez editado por Bruno Oliveira s Sexta Out 30, 2009 9:48 am, editado 1 vez no total
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Re: Equilíbrio estático surpreendente

Mensagempor Tharis em Sexta Out 30, 2009 12:30 am

jap Escreveu:Destas equações, acho a 1ª a mais interessante... :lol: O que é que ela significa? :roll:


Que \theta_1 = \theta_2.... :mock:
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Re: Equilíbrio estático surpreendente

Mensagempor Bibs em Sexta Out 30, 2009 3:42 pm

Acho que o mais importante do facto de \sin{\theta_1}=\sin{\theta_2}=\frac{w}{L} é que os triângulos formados por esses ângulos são semelhantes, assim como são semelhantes com o triângulo formado pela vertical do ponto B, por w, e pela corda L, se não houvesse nenhum peso pendurado nesta.
Okay, talvez não seja nada disto :)
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Re: Equilíbrio estático surpreendente

Mensagempor Bruno Oliveira em Sexta Out 30, 2009 3:53 pm

Parece-me que é de facto isso, não deixei de achar curioso quando vi, a relação {L_1 \over L} = {w \over x}, que, me parece ser bastante surpreendente dado o facto do sistema estar em equilibrio estático :wink:
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Re: Equilíbrio estático surpreendente

Mensagempor jap em Sexta Out 30, 2009 11:46 pm

O que eu acho surpreendente é que o àngulo \theta_1 (que é igual a \theta_2) seja apenas dependente da distância vertical w para um dado comprimento de fio L. Isto é, se vocês deslocarem o ponto de apoio B na horizontal, mantendo o ponto A fixo, a massa muda de posição, naturalmente, mas o equilíbrio é atingido para o mesmo ângulo. Muito contraintuitivo, IMHO! :P

Podem experimentar em casa, não precisam de roldana, apenas de um fio, uma massa para pendurar atada a um clip que faça de argola (em vez da roldana). É muito interessante ver a massa a mudar de posiçao e o ângulo invariante.

Já agora, alguém consegue demonstrar este resultado, sem utilizar forças, a partir de um princípio muito simples: a massa vai para a posição que minimiza a energia potencial do sistema (sujeito às restrições impostas pelo fio, claro). Fico à espera da vossa demonstração de que o mínimo da energia implica \theta_1 = \theta_2 = w/L! :wink:
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Re: Equilíbrio estático surpreendente

Mensagempor Bibs em Quarta Nov 04, 2009 8:51 pm

Na verdade foi assim que resolvi inicialmente o problema :D
Resolvendo y em função de \theta_1, por exemplo, a partir de

\sin{\theta_1}=\frac{x}{L_1}
\sin{\theta_2}=\frac{w-x}{L_2}
\cos{\theta_1}=\frac{y}{L_1}
\cos{\theta_2}=\frac{y-h}{L_2}
L_1+L_2=L

Chega-se a uma equação do género:

y=\frac{w^2+h^2-L^2}{2w\tan{\theta_1}+\frac{2L}{\cos{\theta_1}}+2h}

Como para minimizar a energia potencial do sistema basta minimizar a altura, derivando e igualando a zero obtém-se o resultado demonstrado :wink:
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