Qual a velocidade máxima de um ciclista?

Neste arquivo iremos colocar os problemas já resolvidos (não são problemas "mortos" porque a discussão pode continuar a qualquer altura!)

Qual a velocidade máxima de um ciclista?

Mensagempor jap em Quinta Set 24, 2009 9:19 pm

Conseguem, a partir de um modelo físico simples, estimar a velocidade máxima de um bom ciclista (numa estrada plana)? :roll:

Dados: um corredor de elite consegue debitar uma potência máxima de 400 W durante uma hora (ou mais!) :shock: Um bom ciclista amador não conseguirá melhor do que 150 W...
A eficiência mecânica de uma bicicleta de corrida professional é de cerca de 95%! :hands:

Assumam que a massa do ciclista é de 70 Kg e que os pneus usados são bons, do estilo "BMX high pressure". Mais dados? OK, não vou dar, assumam estimativas razoáveis para tudo o que fizer falta. Não se pretende um valor exacto, mas que desenvolvam um modelo minimamente realista... :lol:

Have fun! :mock:

PS: Assumam (e aqui há uma certa margem de erro!) que o ciclista é clean! :wink:
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Re: Qual a velocidade máxima de um ciclista?

Mensagempor Tharis em Terça Set 29, 2009 5:52 pm

Vou pôr aqui a minha tentativa. Não sei se está totalmente certa (se calhar nem parcialmente está :wall: ), mas estou aqui para aprender! :D

Nota Prévia:

- Unidades todas no SI, excepto as que são colocadas explicitamente
- Valores e fórmulas de atrito retirados daqui.
- Os indexes _c e _a são ciclista e atrito, respectivamente
- Aceleração de atrito não me soa bem, mas ...



Agradecia que me:

- Ajudassem nos limites
- Ensinassem a integrar uma raiz quadrada :shock: :o
- Dissessem se errei e se sim onde
- Se é possível simplificar e se sim, como
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Re: Qual a velocidade máxima de um ciclista?

Mensagempor jap em Terça Set 29, 2009 8:30 pm

Boa tentativa, Francisco! :wink:

Vais no bom caminho. :D
Logo que puder voltarei ao teu post com mais umas dicas...:wink:. Hoje tenho uma noite ocupada com visitas em casa mas amanhã direi mais alguma coisa, fica prometido...

Até breve!
Abraço,
jap

PS: Se alguém se quiser pronunciar entretanto sobre os cálculos do Francisco e dar mais alguma dica, estejam à vontade! :D
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Re: Qual a velocidade máxima de um ciclista?

Mensagempor Tharis em Terça Set 29, 2009 9:12 pm

A mim (e não só) parece-me que o erro está na abordagem ou qualquer coisa do género, mas já encontrei (com a ajuda do Lucas) duas coisitas relacionadas com valores:

- O raio é 30cm, o diâmetro é que é 60cm
- A força de atrito considerada é só para 1 roda

e outra coisa é que não considerei resistência do ar.

EDIT

Professor, não se esqueceu das "Dicas", pois não? :mrgreen: :oops:
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Re: Qual a velocidade máxima de um ciclista?

Mensagempor jap em Domingo Out 04, 2009 11:11 pm

Desculpem! :oops:
Não me esqueci, mas não estou em Coimbra e estou com acesso muito mau à net (quase não consigo escrever duas linhas sem a ligação cair). Regresso amanhã, e retomarei as postagens aqui ao ritmo normal - incluindo as dicas para este problema.
Até breve.
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Re: Qual a velocidade máxima de um ciclista?

Mensagempor jap em Segunda Out 05, 2009 8:39 pm

Ora vamos cá então a este problema...

A melhor forma de o atacar talvez seja mesmo por considerações energéticas. Sabemos que o trabalho das forças não conservativas é igual à variação da energia mecânica:

W_{NC} = \Delta E_c + \Delta E_p.

Vams começar por identificar as parcelas que contribuem para W_{NC}:

1) O trabalho realizado pelo ciclista trabsferido para o sistema: W_c = e P \Delta t

onde e é a eficiência mecânica da bicicleta, que é (dizem os peritos em ciclismo) cerca de 95% para uma boa bicicleta, P a potência média dos músculos do ciclista e \Delta t um certo intervalo de tempo.

2) A resistência do ar. O trabalho dissipado pela força de resistência do ar quando a bicicleta de desloca uma distância \Delta x pode ser calculado usando

W_a=-\frac{1}{2}C_d\rho A v^2_a\Delta x

onde \rho é a densidade do ar, v_a a velocidade da bicicleta em relação ao ar, C_d o chamado "coeficiente de arrasto" e A a secção do ciclista + bicicleta que "corta" o ar.

A densidade do ar é \rho = \rm 1,247~kgm^{-3}. A área A pode ser estimada, de forma grosseira, em algo como \rm 1/2~m^2 para um ciclista de pé e, digamos, \rm 1/3~m^2 para um ciclista que adopta uma posição aerodinâmica. :lol: Bem sei que é uma estimativa grosseira, mas sabe-se que se um colega estiver à frente do ciclista esta área efectiva deverá ser diminuída (o colega "corta" o ar!) de um factor que pode ir até cerca de 50%, dependendo da distância entre os dois ciclistas.
Já quanto ao coeficiente de arrasto, ele terá de ser medido num túnel de vento, mas os estudos sobre este assunto na área do ciclismo mostram que C_d não difere muito da unidade, pelo que vamos considerar C_d = 1.

Notem que na expressão anterior devemos fazer

v_a = v - v_v\cos\phi

onde a v_a e v são a velocidade da bicicleta em relação ao ar e ao solo, respectivamente, e v_v a velocidade do vento que poderá soprar de um ângulo \phi em relação à velocidade da bicicleta. Por exemplo, se \phi =90^\circ, o vento não terá influência...

3) Energia dissipada no atrito por rolamento

(continua...)
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Re: Qual a velocidade máxima de um ciclista?

Mensagempor jap em Quarta Out 07, 2009 3:24 pm

Continuação mais logo, à noite.... Desculpem o atraso! :oops:
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Re: Qual a velocidade máxima de um ciclista?

Mensagempor jap em Quarta Out 07, 2009 8:20 pm

Or aqui vamos nós...


3) Energia dissipada no rolamento

Esta energia pode ser escrita na forma

W_r = -\mu_r Mg\cos\theta \Delta x

onde M é a massa do ciclista mais a bicicleta, \mu_r é o coeficiente de atrito de rolamento, \theta a inclinação da pista em relação à horizontal (o ciclista pode estar na prova de montanha! :lol:) e \Delta x o deslocamento ao longo da trajectória.


O valor de \mu_r para os pneus BMX é de 0.003 um valor médio para asfalto, porque depende do piso, evidentemente). Notem que a definição de coeficiente de atrito de rolamento usada pelo Francisco é diferente da que uso aqui, esta já incorpora o "efeito" do valor do raio da roda que aparece explicitamente na definição usada pelo Francisco.

Ora o trabalho das forças dissipativas é igual à variação da energia mecânica do sistema, ou seja da sua energia cinética e potencial:

\Delta E_c = M a \Delta x

se a aceleração puder ser considerada constante no pequeno deslocamento \Delta x.

e

\Delta E_p = Mg \Delta x \sin\theta

Juntando todos os termos, temos então

eP\Delta t -\frac{1}{2}C_dA\rho v_a^2\Delta x -\mu_r Mg\cos\theta \Delta x = M a \Delta x + Mg \Delta x \sin\theta

Dividindo tudo por \Delta t e substituindo v = \Delta x / \Delta t, podemos resolver a equação acima em ordem à aceleração a:

a = \frac{1}{M}\left( \frac{Pe}{v}- \frac{1}{2}C_dA\rho v_a^2\right) -g \left (\mu_r \cos\theta +\sin\theta\right)

Agora é so integrar a equação acima para obter a velocidade em função do tempo e encontrar a velocidade terminal do ciclista! :wink:

Sugestão:

Considerar um pequeno intervalo de tempo \Delta t e fazer

a = \frac{v(t+\Delta t) -v(t)}{\Delta t}

ou seja:

fazer passos no tempo de \Delta t; a passagem do passo i para o passo i+i é feita com a seguinte equação (ver acima)

v_{i+1} = v_i +  \left(\frac{1}{M}\left( \frac{Pe}{v}- \frac{1}{2}C_dA\rho v_a^2\right) -g \left (\mu_r \cos\theta +\sin\theta\right)\right) \Delta t

Só há aqui um "petit problème", aliás já (e muito bem!) detectado pelo Francisco na sua análise. Qual é ele? :P
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Re: Qual a velocidade máxima de um ciclista?

Mensagempor Tharis em Quarta Out 07, 2009 9:51 pm

jap Escreveu:v_ar = v - v_v\cos\phi


Isto seria v_{ar} (typo), ou seja, o r não pertence ao cálculo, certo? :roll:

jap Escreveu:Só há aqui um "petit problème", aliás já (e muito bem!) detectado pelo Francisco na sua análise. Qual é ele? :P


O facto de a = \frac{1}{M}\left( \frac{Pe}{v}- \frac{1}{2}C_dA\rho v_a^2\right) -g \left (\mu_r \cos\theta +\sin\theta\right) cruzar o eixo do xx... E então passar a haver aceleração negativa. :?

Outra coisa, se considerarmos a quando t = 0 \Rightarrow v = 0, não aparece outra indeterminação? :roll:


Já agora, este último post parece quando queremos ver um video fabuloso do YT e se está numa ligação ranhosa e a velocidade de download não chega a 1s_{video} / s e estou-me a referir ao suspense/ansiedade em detrimento da velocidade. :D :hands:
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Re: Qual a velocidade máxima de um ciclista?

Mensagempor jap em Quarta Out 07, 2009 10:33 pm

Tharis Escreveu:
jap Escreveu:v_ar = v - v_v\cos\phi


Isto seria v_{ar} (typo), ou seja, o r não pertence ao cálculo, certo? :roll:




Sim, tens razão. :oops: E já editei mudando simplesmente para v_a, que é uma notação mais compacta do que v_{ar}.

Tharis Escreveu:
jap Escreveu:v_ar = v - v_v\cos\phi


Isto seria v_{ar} (typo), ou seja, o r não pertence ao cálculo, certo? :roll:

jap Escreveu:Só há aqui um "petit problème", aliás já (e muito bem!) detectado pelo Francisco na sua análise. Qual é ele? :P


O facto de a = \frac{1}{M}\left( \frac{Pe}{v}- \frac{1}{2}C_dA\rho v_a^2\right) -g \left (\mu_r \cos\theta +\sin\theta\right) cruzar o eixo do xx... E então passar a haver aceleração negativa. :?

Outra coisa, se considerarmos a quando t = 0 \Rightarrow v = 0, não aparece outra indeterminação? :roll:


Certo! :hands:

O primeiro problema não é muito grave, porque o ciclista vai atingir uma velocidade terminar, ou seja, o termo negativo vai crescendo, mas cada vez mais devagar, até que no limite (passado algum tempo de corrida) iguala o termo positivo e a aceleração tende assimptoticamente para zero - ou seja o ciclista vai tender assimptoticamente para a velocidade máxima e a aceleração aproxima-se de zero mas nunca será negativa (veremos isso nas simulações).

Já a segunda questão da singularidade para v= 0 é bem mais grave! :crazy:

É que, com o corredor a partir do repouso e com este nosso modelo matemático, nem conseguimos arrancar com a simulação porque o programa vai estourar ao dividir por "0" ! :lol:

Any ideas de como sair desta situação? :roll:
Any sugestions de como sair deste problema!
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Re: Qual a velocidade máxima de um ciclista?

Mensagempor Tharis em Sexta Out 09, 2009 6:50 pm

jap Escreveu:Já a segunda questão da singularidade para v= 0 é bem mais grave! :crazy:

É que, com o corredor a partir do repouso e com este nosso modelo matemático, nem conseguimos arrancar com a simulação porque o programa vai estourar ao dividir por "0" ! :lol:

Any ideas de como sair desta situação? :roll:
Any sugestions de como sair deste problema!


Podemos ser "rafeiros" e fazer a integração só em ]0, t] :mrgreen:

Realmente, não estou a ver como sair deste molho de bróculos.... :(

EDIT

Reparei que
Dividindo tudo por \Delta t e substituindo v = \Delta x / \Delta t
implica que \Delta t \neq 0 o que não acontece quando t = 0 aka a expressão só é válida para t \neq 0
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Re: Qual a velocidade máxima de um ciclista?

Mensagempor jap em Sexta Out 09, 2009 11:28 pm

Fica prometido o desenvolvimento do tópico para amanhã. :wink:
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Re: Qual a velocidade máxima de um ciclista?

Mensagempor jap em Sábado Out 10, 2009 6:19 pm

Tharis Escreveu:(...)
Reparei que
Dividindo tudo por \Delta t e substituindo v = \Delta x / \Delta t
implica que \Delta t \neq 0 o que não acontece quando t = 0 aka a expressão só é válida para t \neq 0


Aqui não há problema; t = 0 não implica \Delta t = 0! :wink: Há isso sim, o problema da expressão P = F v ser singular parav = 0...
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Re: Qual a velocidade máxima de um ciclista?

Mensagempor jap em Sábado Out 10, 2009 6:32 pm

Ora vamos lá continuar esta "saga" ciclista. :lol:

Como repararam, o nosso modelo tem um problema grave: não funciona para t = 0, pois a expressão P = Fv , com P constante, implicaria uma força infinita.

Ora isto não acontece, de certeza. :D

Na realidade, nos instantes iniciais do movimento, em que o ciclista ainda nem sequer atingiu um equilibrio estável na bicicleta, não podem ser modelados por (nem correspondem, de facto a) umaa situação de potência motora constante. Na realidade, e isso sim, nestes instantes iniciais do movimento, até se atingir uma velocidade de equilíbrio estável na bicicleta, ou seja nas primeiras pedaladas, o ciclista aplica uma força praticamente constante nos pedais. Esta força motora inicial depende das características musculares do ciclista em causa, mas uma boa aproximação é considerar que essa força constante é ainda dada pela expressão F = P/v, mas onde v é a velocidade de estabilidade mínima de uma bicicleta, que é da ordem de 3 m/s.

Assim, para um ciclista amador, que consegue debitar uma potencia de 150 W, a força nos instantes iniciais (nesta aproximação) será cerca de F = 150/3 = 50 N. Já um ciclista profissional que "debita" 400 W conseguirá aplicar nos instantes iniciais uma força de 400/3 = 150 N. Estes valores são algo subestimados - um bom ciclista profissional e em boa forma consegue um arranque com uma força que excede os 200 N, mas vamos considerar este nosso modelo como razoável para prosseguirmos.

Em resumo, vamos considerar que:

1) Desde o instante t = 0 até se atingir a velocidade de 3 m/s, a força não é dada pela expressão F = Pe/v, mas sim pela força constante dada pela expressão F \sim P/3.
(notem que dadas as aproximações envolvidas posso fazer e \sim 1).

2) A partir do instante em que se atinge a velocidade de 3 m/s, utiliza-se então o modelo descrito pela expressão matemática dada no meu post acima.

Alguém quer fazer um pequeno programa pitónico para nos mostrar o gráfico de v(t) para um ciclista profissional e amador? :P Será que o nosso modelo prevê uma velocidade máxima do ciclista em bom acordo com a realidade? :roll:
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Re: Qual a velocidade máxima de um ciclista?

Mensagempor Tharis em Sábado Out 10, 2009 9:46 pm

Depois de algum tempo a ver por que razão o gnuplot não "plottava", lá consegui pôr o terminal para x11 em vez do aqua e fazer os gráficos.

Fiz a integração em Python. A cada dt imprimia o tempo e a velocidade nesse instante. Depois pus o gnuplot a fazer o gráfico de ambos. ;)

EDIT

Código e imagem buggados.
última vez editado por Tharis s Sábado Out 10, 2009 11:17 pm, editado 1 vez no total
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