Cubo de gelo

Neste arquivo iremos colocar os problemas já resolvidos (não são problemas "mortos" porque a discussão pode continuar a qualquer altura!)

Re: Cubo de gelo

Mensagempor ampat em Domingo Jun 21, 2009 8:10 pm

\vec F = \frac{d\vec p}{dt}.

dp =p_{t+dt}-p_{t}\leftrightarrow dp=(m+dm) (v+dv)-mv \leftrightarrow dp= m dv + dm v +dm dv

Como dm dv é muito pequeno pode-se desprezar.

Assim, F = \frac{m dv}{dt} + \frac{dm v} {\ dt}\leftrightarrow - \mu m g=\frac{m dv}{dt} + \frac{dm v} {\ dt} \leftrightarrow - \mu  g dt=dv + \frac {dm v}{m}

Integrando ambos os membros,
\int_0^t - \mu  g dt = \int_{v_{0}}^v dv + \int_ {m_{0}}^m \frac {v dm}{m} \leftrightarrow - \mu  g t=v - v_{0} + v ln(\frac{m}{m_{0}})\leftrightarrow - \mu  g t + v_{0}=v[1 + ln(\frac{m}{m_{0}})] \leftrightarrow v= \frac{- \mu  g t + v_{0}}{1 + ln(\frac {m}{m_{0}})}
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Re: Cubo de gelo

Mensagempor hexphreak em Domingo Jun 21, 2009 8:17 pm

Em primeiro lugar, fico contente por ver que já tens algum à vontade com Cálculo :D

Por outro lado, repara que em \int v dm, a velocidade também depende da massa, indirectamente. Podes verificar isso se escreveres dm = \dot m dt, e tens o integral em ordem ao tempo. Assim, não podes efectuar a primitivação/integração sem conheceres v(t) ou v[m(t)] :?
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Re: Cubo de gelo

Mensagempor jap em Domingo Jun 21, 2009 8:50 pm

hexphreak Escreveu:Em primeiro lugar, fico contente por ver que já tens algum à vontade com Cálculo :D

Por outro lado, repara que em \int v dm, a velocidade também depende da massa, indirectamente. Podes verificar isso se escreveres dm = \dot m dt, e tens o integral em ordem ao tempo. Assim, não podes efectuar a primitivação/integração sem conheceres v(t) ou v[m(t)] :?



Exactamente. A velocidade não é constante, por isso a integração acima não está correcta. Mas é um bom ponto de partida! Não se esqueçam de que o calor latente também tem de entrar algures nas vossas equações... :wink:
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Re: Cubo de gelo

Mensagempor ampat em Segunda Jun 22, 2009 6:59 am

Cheguei a outra fórmula, mas não sei se está bem.

dm=\frac{dq}{L_{f}} \leftrightarrow dm= \frac{- \mu g m v dt}{L_{f}} \leftrightarrow \frac{dm}{dt}=\frac{- \mu g m v}{L_{f}}

E como m=m_{0}+\frac{dm}{dt} t

m=m_{0} - \frac{ \mu g m v}{L_{f}} t \leftrightarrow  m[1+ \frac{ \mu g v}{L_{f}} t]=m_{0} \leftrightarrow m= \frac{m_{0}}{1+ \frac{ \mu g v}{L_{f}} t}
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Re: Cubo de gelo

Mensagempor jap em Segunda Jun 22, 2009 9:25 am

ampat Escreveu:Cheguei a outra fórmula, mas não sei se está bem.

dm=\frac{dq}{L_{f}} \leftrightarrow dm= \frac{- \mu g m v dt}{L_{f}} \leftrightarrow \frac{dm}{dt}=\frac{- \mu g m v}{L_{f}}
(...)


Até aqui concordo. :wink:

ampat Escreveu:
E como m=m_{0}+\frac{dm}{dt} t



Cuidado, que esta equação só é válida se \frac{dm}{dt} for constante, ou então num intervalo de tempo infinitesimal próximo de t = 0.

É como na cinemática: a equação x = x_0 + \frac{dx}{dt} t só é válida para o movimento uniforme (ou então num inetrvalo de tempo pequenino em torno de t = 0).
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Re: Cubo de gelo

Mensagempor ampat em Segunda Jun 22, 2009 10:11 am

Será que isto é válido? :?: :XD

F=\frac{dp}{dt}

\leftrightarrow F= m \frac{dv}{dt} + v \frac{dm}{dt}

\leftrightarrow F= m \frac{dv}{dt} + v (\frac{- \mu m g v}{L_{f}})

\leftrightarrow -\mu m g = m \frac{dv}{dt} + v (\frac{- \mu m g v}{L_{f}})

\leftrightarrow -\mu m g (1-\frac{v^2}{L_{f}}) = m \frac{dv}{dt}

\leftrightarrow \frac{\mu g dt}{L_{f}} = \frac{dv}{v^2- L_{f}}
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Re: Cubo de gelo

Mensagempor jap em Segunda Jun 22, 2009 10:14 am

Certo! :hands:

Agora é so integrar! :D
Se tiveres dificuldade, pede ajuda a um matemático ou a um matemático-físico de serviço. :lol:
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Re: Cubo de gelo

Mensagempor ampat em Segunda Jun 22, 2009 10:18 am

Integrar é fácil (às vezes :roll: ). O problema é a fórmula complicada a que depois chego e em que não consigo facilmente exprimir v em função de t. Vou tentar : :)
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Re: Cubo de gelo

Mensagempor jap em Segunda Jun 22, 2009 10:34 am

ampat Escreveu:Integrar é fácil (às vezes :roll: ). O problema é a fórmula complicada a que depois chego e em que não consigo facilmente exprimir v em função de t. Vou tentar : :)


É verdade! :lol:

Em alternatica podemos sempre integrar numericamente, pitonistas de serviço - mãos ao trabalho! :D
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Re: Cubo de gelo

Mensagempor ampat em Segunda Jun 22, 2009 10:42 am

deu-me como resultado uma fórmula um bocado grande e mesmo nada simplificada. Enfim, um bom trabalho para quem a quiser simplificar e tornar um pouco mais simpática :lol: (se calhar enganei-me em algum passo).

:shock: :shock: :shock:

v= \frac{-L_{f}+3{L_{f}}^{\frac{1}{2}} v_{0} + e^{\frac{-2 \mu g t}{{L_{f}}^{\frac{1}{2}}}} ( L_{f} + {L_{f}}^{\frac{1}{2}} v_{0} )}{L_{f} - v_{0} + e^{\frac{-2 \mu g t}{{L_{f}}^{\frac{1}{2}}}} ( {L_{f}}^{\frac{1}{2}} + v_{0}) }

ps:não sei como se escreve raizes quadradas

edit: uma versão um bocadinho mais simples (mas não muito)

v= \frac{2 \sqrt{L_{f}} (v_{0} - \sqrt{L_{f}})}{(v_{0} + \sqrt{L_{f}}) ({e}^{\frac{-2 \mu g t}{ \sqrt{L_{f}}}}) -(v_{0} - \sqrt{L_{f}})} + \sqrt{L_{f}}
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Re: Cubo de gelo

Mensagempor jap em Segunda Jun 22, 2009 12:15 pm

ampat Escreveu:
ps:não sei como se escreve raizes quadradas



Escreve-se assim:

\sqrt{4}=2,

o que dá:

\sqrt{4}=2

PS: Não sei se a tua expressão estará correcta...alguém quer verificar? :wink:
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Re: Cubo de gelo

Mensagempor hexphreak em Segunda Jun 22, 2009 1:10 pm

Eu não tenho vontade de verificar isso :shock: Desculpa, é que existe uma forma mais simples de expressar... o que quer que vá sair daqui :lol:

Vamos voltar à tua equação, ligeiramente reescrita:

\displaystyle \mu g dt = {L \over v^2 - L} dv

Deixei cair o subscript _f por uma questão de clareza, e passei o L para o outro lado. Podemos ainda, dividindo no lado direito ambos os termos da fracção por L, obter:

\displaystyle \mu g dt = {1 \over (v/\sqrt L)^2 - 1} dv

E agora acontece que existe uma função, a chamada tangente hiperbólica inversa \tanh^{-1}(x), cuja derivada é \displaystyle {1 \over 1 - x^2}. Agora vês facilmente que vem:

\displaystyle \mu gt |_0^\tau = \sqrt L \tanh^{-1} \left( {v \over \sqrt L} \right)\Big |_{v(t)}^{v_0}

Por outro lado, sabemos das propriedades da tangente hiperbólica que \displaystyle \tanh(a-b) = {\tanh a - \tanh b \over 1 - \tanh a \tanh b}. Aplicando \tanh de ambos os lados,

\displaystyle \tanh \left( {\mu g \tau \over \sqrt L} \right) = \sqrt L {v_0 - v \over L - v_0 v}

Agora falta apenas resolver em ordem a v e, se quisermos expressar o resultado de outra forma, lembrar que \displaystyle \tanh x = {e^{2x} - 1 \over e^{2x} + 1} :wink:
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Re: Cubo de gelo

Mensagempor ampat em Segunda Jun 22, 2009 2:11 pm

Vou mostrar como fiz para ver se detectam algum erro. :D

\displaystyle \frac{\mu g dt}{L} = \frac{dv}{v^2- L}


\displaystyle \leftrightarrow  {\frac{\mu gt}{L}}|_0^t = - \frac{1}{2\sqrt{L}} ln|\frac{v+\sqrt{L}}{\sqrt{L} - v}|} |_{v_0}^{v(t)}


\displaystyle \leftrightarrow \frac{\mu g t}{L} = - \frac{1}{2\sqrt{L}} ln|\frac{(v+ \sqrt{L})(\sqrt{L} - v_{0})}{(\sqrt{L} -v)(v_{0}+\sqrt{L})}|


\displaystyle \leftrightarrow  \frac{\mu g t}{L} = - \frac{1}{2\sqrt{L}} ln|(-1+ \frac{2\sqrt{L}}{\sqrt{L} -v})(\frac{\sqrt{L}- v_{0}}{v_{0}+\sqrt{L}})|


\displaystyle \leftrightarrow -\frac{2 \mu g t}{\sqrt{L}} = \displaystyl ln|(-1+ \frac{2\sqrt{L}}{\sqrt{L} -v})(\frac{\sqrt{L}- v_{0}}{v_{0}+\sqrt{L}})|

E a partir de aqui resolvi em ordem a v. :)
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Re: Cubo de gelo

Mensagempor hexphreak em Segunda Jun 22, 2009 2:15 pm

Cuidado! Só podes fazer \displaystyle \tanh^{-1} x = {1 \over 2} \ln \left( {1+x \over 1-x} \right) se -1 < x < 1. Neste caso, não é garantido que -1 < v/\sqrt L < 1...
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Re: Cubo de gelo

Mensagempor ampat em Segunda Jun 22, 2009 2:47 pm

Acho que só falta o sinal de módulo na expressão que está dentro do logaritmo , certo?

Nunca ligo a isso, mas já vi que pode ser bastante importante.
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