Socorro

Neste arquivo iremos colocar os problemas já resolvidos (não são problemas "mortos" porque a discussão pode continuar a qualquer altura!)

Socorro

Mensagempor jap em Sábado Fev 07, 2009 11:26 pm

Um conjunto de quarenta e oito náufragos, que deram à costa numa ilha deserta, tentam desesperadamente contactar com um navio que passa ao largo. Cada um deles trouxe no seu pack de sobrevivência uma lanterna de 6 V - e estão todas, miraculosamente, em bom estado. Deu também à costa, provavelmente proveniente do navio naufragado, uma lâmpada de iluminação de 100 W, intacta, e que secaram cuidadosamente. Os náufragos tiveram então a ideia de alimentar essa lâmpada com as pilhas de 6 V das suas lanternas, para terem um sinal nais visível. As pilhas têm uma resistência interna de 3 ohm, cada. A lâmpada de grande potência tem gravado a inscrição 100 W/ 30 V. Por entre os destroços os náufragos encontraram também vários pedaços de fio eléctrico.

Entre os malogrados náufragos encontra-se um engenheiro electrotécnico a quem foi pedido que encontrasse a melhor forma de alimentar a lâmpada de 100 W para emitir o sinal de socorro.

Mas entre os náufragos há também um físico, e não concorda com a solução proposta pelo engenheiro electrotécnico... :lol:

Encontrem também a vossa solução para este problema! :P
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Re: Socorro

Mensagempor Mário Gomes em Domingo Fev 08, 2009 12:03 am

Talvez através da associação em série de 5 pilhas de forma a obter uma diferença de potencial de 30V e acender a lampada de 100W (utilizando para a associação os pedaços de fio eléctrico). :?
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Re: Socorro

Mensagempor jap em Domingo Fev 08, 2009 12:10 am

É uma possibilidade, mas será a melhor escolha para associar as pilhas? :roll:
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Re: Socorro

Mensagempor sagardipak em Domingo Fev 08, 2009 12:13 am

Acho que vão ser necessárias 48 pilhas, visto que há bocado no enunciado eram 12 náufragos, e não 48. :P
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Re: Socorro

Mensagempor hexphreak em Domingo Fev 08, 2009 12:38 am

É sabido que a solução do engenheiro electrotécnico estaria mais correcta do que a do físico, já que este desprezaria a resistência interna das pilhas :twisted:
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Re: Socorro

Mensagempor RicardoCampos em Domingo Fev 08, 2009 11:32 am

hexphreak Escreveu:É sabido que a solução do engenheiro electrotécnico estaria mais correcta do que a do físico, já que este desprezaria a resistência interna das pilhas :twisted:


Lembra-te que para entrares na pré-selecção olímpica tiveste que assinar um contrato em que prometias ir para Física em Coimbra :!:

Comigo, claro está. Nada a ver com os professores :mock:
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Re: Socorro

Mensagempor jap em Domingo Fev 08, 2009 7:42 pm

sagardipak Escreveu:Acho que vão ser necessárias 48 pilhas, visto que há bocado no enunciado eram 12 náufragos, e não 48. :P


No enunciado original (este foi um problema de uma das provas da pré-selecção olímpica do Canadá :whistle: ) havia 4 caixas de 12 pilhas que tinham dado à costa, mas achei que 48 náufragos, cada um com a sua lanterna de bolso, seria mais realista... :lol: Por essa razão alterei o enunciado. E no enunciado original também não havia um engenheiro electrotécnico, foi só para me meter com o Henrique! :mock:
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Re: Socorro

Mensagempor Ângela Guerra em Sábado Abr 11, 2009 10:21 pm

Pode ressuscitar-se este problema?
Que tal 10 pilhas em paralelo?
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Re: Socorro

Mensagempor telmomo em Quarta Maio 27, 2009 9:07 pm

como a Ângela diria, vou ressuscitar o dito problema:
e que tal umas belas 9 pilhas em série?

P.S.:
desculpa lá, era só uma a mais...
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Re: Socorro

Mensagempor jap em Quinta Maio 28, 2009 8:30 pm

O nosso engenheiro electrotécnico wanna be quer dar alguma dica aqui ao pessoal? :P
Ou alguém quer justificar convenientemente os seus palpites? 8)
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Re: Socorro

Mensagempor jap em Sábado Maio 30, 2009 2:56 pm

Se mais ninguém se pronunciar, postarei aqui a solução hoje à noite. :wink:
Querem pensar sobre o assunto? :P


Uma vez que o pessoal não consegue decidir-se sobre a melhor forma de associar as pilhas, em série, ou em paralelo, aqui vai uma dica:

Suponham que dividem as pilhas em m conjuntos de n pilhas associadas em série.

Agora usem esses m conjuntos em paralelo para alimentar a lâmpada. Qual será a melhor partição das 48 pilhas em m \times n para alimentar a lâmpada? :roll:
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Re: Socorro

Mensagempor Ângela Guerra em Domingo Maio 31, 2009 12:09 am

O meu post anterior fica sem efeito, já que na altura interpretei mal o enunciado.

Desta vez pensei assim:
Para perfazer os 30V, temos de ter 5 conjuntos (m=5) de pilhas ligadas em série. Como a lâmpada é de 100W, a intensidade da corrente necessária é P=UI \leftrightarrow I=\frac{100}{30}=\frac{10}{3}A. Esta é a intensidade da corrente em cada módulo de pilhas em paralelo, portanto posso descobrir a resistência de cada módulo através de R=\frac{U}{I} \leftrightarrow R=\frac{6}{10/3}\leftrightarrow R=1,8\Omega. A partir daqui descubro o número de pilhas em cada módulo, através de \frac{1}{Req}=\frac{n}{3} \leftrightarrow n=\frac{5}{3}. Portanto, deve ter que se ligar as pilhas em módulos diferentes... Confesso que só me dei conta agora e estou com demasiado sono para continuar com as contas. :oops:
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Re: Socorro

Mensagempor jap em Domingo Maio 31, 2009 3:06 pm

Então aqui vai a minha resolução (peço desculpa pelo atraso, mas ontem já saí tarde do magnífico concerto dos Angles no Salão Brazil... :wink:

Em primeiro lugar, notemos as características da lâmpada: 100W, 30 V, ou seja, a resistência da lâmpada é

R =\frac{ V^2}{P}  = 9\rm~\Omega


Vamos então dividir as 30 pilhas em m conjuntos de n pilhas ligadas em série.

Sejam V_p e R_p a força electromotriz e a resistência interna de cada pilha.

Uma ligação em série de n pilhas é equivalente a uma única pilha de força electromotriz V_s = nV_p e resistência interna R_s = nR_p.

Agora liguemos m destes conjuntos em paralelo. A força electromotriz e a resistência equivalente do total das pilhas ligadas desta forma são

V_t = V_s= n V_p
\frac{1}{R_t} = \frac{m}{R_s} =\frac{m}{nR_p}

ou seja

R_t = \frac{nR_p}{m}

Ligando esta associação de pilhas à lâmpada, a intensidade de corrente I que a percorre é


I = \frac{nV_p }{R_L + nR_p/m}


Mas como o número total de pilhas é 48, m = 48/n e podemos escrever, finalmente,

I = \frac{nV_p }{R_L + n^2R_p/48}

e a potência dissipada na lâmpada é

P = R_L I^2 = R_L \left(\frac{nV_p }{R_L + n^2R_p/48}\right)^2

Substituindo valores, obtemos as seguintes potências em função de n:
\begin{tabular}{lll}
n & m & P (W) \\ \hline
1 & 48 & 3.94 \\
2 & 24 & 15.15 \\
3 & 16 & 31.89\\
4 & 12 & 51.84\\
6 & 8 & 92.16\\
8 & 6 & 122.70\\
12 & 4 & 144.0\\
16 & 3 & 132.71\\
24 & 2 & 92.16\\
48 & 1 & 31.89\\
\end{tabular}


Como vêm, o máximo da potência obtêm-se para n = 12 (resultado este que pode ser obtido analiticamente, como?). No entanto, a potência máxima que as pilhas transferem para a lâmpada nesta configuração ultrapassa as especificações da lâmpada (140 W para uma lâmpada de 100 W), pelo que arriscamos a fundir a lâmpada usando esta configuração de pilhas. Para jogarmos pelo seguro, podemos usar n = 6 ou n = 8, se decidirmos arriscar um bocado... :lol:

Se entre os náufragos estiver um engeheiro electrotécnico teórico, o melhor é usar mesmo n = 4 como medida de precaução, caso contrário arriscam-se a que haja um cataclismo eléctrico! :lol:
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Re: Socorro

Mensagempor Bruno Oliveira em Domingo Maio 31, 2009 4:36 pm

A resolução estava óptima, prof. muito clara!

E, respondendo ao parantesis, para resolver analiticamente, bastava derivar a função que nos dá a potência, depois igualar a 0 e resolver para n, acho eu. Vou fazer uns cálculos e coloc-os aqui. :wink:
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Re: Socorro

Mensagempor Bruno Oliveira em Domingo Maio 31, 2009 6:06 pm

Portanto, para obtermos o valor n=12 analiticamente, basta-nos admitir que P é função de n (e de facto, até é, pois se P depende de I, e por sua vez, I, depende de n, logo temos P(n)).

Temos então apenas, que derivar a expressão abaixo para, achar o valor de n que maximiza a potência:

P(n)=R_L \left(\frac{nV_p}{R_L+n^2R_p/48}\right)^2

Usando a regra da derivada do quociente, e fazendo algumas simplificações, facilmente obtemos a expressão:

{dP \over dn}={2R_L\,{V_p}^2n \left({R_L}^2-n^4\,{{R_p}^2 \over 48^2} \over \left(R_L+n^2\,{R_p \over 48}\right)^4}\right)

Por fim, para resolver o problema, basta fazermos {dP \over dn}=0 e, usando os valores R_L=9 e R_p=3, obtemos então o valor de n=12. :)
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