Colisões

Neste arquivo iremos colocar os problemas já resolvidos (não são problemas "mortos" porque a discussão pode continuar a qualquer altura!)

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Mensagempor sagardipak em Segunda Jan 12, 2009 11:38 pm

Três bolas perfeitamente elásticas, A, B e C, estão sobre a mesma linha recta. A bola A, de massa M, começa a andar com velocidade v até chocar com a B que, por sua vez, irá chocar com a bola C, de massa m. Qual deverá ser a massa de B para que a velocidade de C seja máxima?

(Retirado de um livro de análise matemática, por isso sejam persistentes nas contas :P)
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Re: Colisões

Mensagempor pfc em Terça Jan 13, 2009 3:04 pm

Não tenho a certeza se isto está correcto, mas cheguei a que a velocidade de c, em função dos dados seria:

v_c=\dfrac{4Mx}{x^2+(M+m)x+mM}v, x=Massa de B

A solução seria então o maximizante desta função.
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Re: Colisões

Mensagempor sagardipak em Quarta Jan 14, 2009 8:56 pm

Isso parece-me bem. :) (Mas não verifiquei.)

Ideias para achar o máximo da função? :P
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Re: Colisões

Mensagempor Bruno Oliveira em Quarta Jan 14, 2009 9:57 pm

Hum talvez derivar e igualar a 0? :roll:
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Re: Colisões

Mensagempor pfc em Quarta Jan 14, 2009 10:01 pm

Ao analisar algumas funções do tipo \dfrac{ax}{x^2+bx+c} pareceu-me que o maximizante é sempre \sqrt{c}

Acho que não sei como o calcular analíticamente.

Ou seja, a massa de B seria \sqrt{mM}
última vez editado por pfc s Quarta Jan 14, 2009 10:21 pm, editado 2 vezes no total
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Re: Colisões

Mensagempor sagardipak em Quarta Jan 14, 2009 10:10 pm

pfc, está correcto! :D Parabéns! :hands:

De facto, a maneira de resolver era derivar e igualar a zero. Para a regra do quociente, não era preciso ir muito longe: só precisávamos de igualar o topo da fracção derivada a zero, já que o denominador seria sempre diferente de zero.
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Re: Colisões

Mensagempor Bruno Oliveira em Quarta Jan 14, 2009 10:18 pm

pfc, obrigado por esse muito útil truque :wink:

Já agora, podias pôr a resolução? :wink:
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Re: Colisões

Mensagempor pfc em Quarta Jan 14, 2009 10:20 pm

Já reparei que não fica um monstro porque algumas coisas anulam-se. Se a resolver ponho aqui.

Bruno: A resolução para a equação da velocidade de c?
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Re: Colisões

Mensagempor sagardipak em Quarta Jan 14, 2009 10:22 pm

pfc Escreveu:Já reparei que não fica um monstro porque algumas coisas anulam-se. Se a resolver ponho aqui.

Bruno: A resolução para a equação da velocidade de c?


Põe a resolução até à expressão que deduziste. Depois escreves: "Derivando e igualando a zero, temos que..." :P
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Re: Colisões

Mensagempor pfc em Quarta Jan 14, 2009 10:29 pm

Sejam m_a, x, m_c e v_a, v_b, v_c as massas e velocidades dos corpos A, B e C (Velocidades antes da colisão com o corpo seguinte, sendo que o C prossegue para o infinito!)

Como as colisões são elásticas e unidimensionais e os corpos B e C estão inicialmente em repouso:

v_b=\dfrac{2m_a}{m_a+x}v_a e v_c=\dfrac{2x}{x+m_c}v_b

Substituindo v_b temos que:

v_c=\left (\dfrac{2x}{x+m_c}\right )\left (\dfrac{2m_a}{m_a+x}\right )v_a\Leftrightarrow

\Leftrightarrow\,v_c=\dfrac{4m_ax}{x^2+(m_a+m_c)x+m_am_c}v_a

Derivando a função e igualando o numerador a zero temos que:

-4m_av_ax^2+4{m_a}^2m_cv_a=0\Leftrightarrow\,-x^2+m_am_c=0\Leftrightarrow\,x=\pm\sqrt{m_am_c}

Como só a solução positiva tem significado físico,

x=\sqrt{m_am_c}

\sqrt{m_am_c} é então o maximizante da função, e consequentemente a massa de B que maximiza a velocidade de C!
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