Provas Quark!-mate

por **jap** em Quarta Jan 21, 2009 12:34 am

Quark!-mate I (18 de Janeiro 2009)

por **jap** em Sábado Jan 24, 2009 11:22 pm

Aqui vai a resolução do Quark-mate I.

1-
a) Vamos lembrar um dos resultados que resulta da aplicação das leis da conservação da quantidade de movimento e da energia para um choque elástico de duas partículas: a velocidade relativa das duas particulas mantem o valor absoluto e inverte o sinal no choque, ou seja:

$\vec v^\prime_1 -\vec v^\prime_2 = - (\vec v_1 -\vec v_2)$

Podem demonstrar este resultado facilmente (foi um dos TPCs que eu sugeri na 1ª aula).

Para choques frontais de duas bolas podemos aplicar a equação acima e escrever (vamos passar a usar apenas escalares para as velocidades, porque tudo se passa a uma dimensão):

$v^\prime_1 - v^\prime_2 = - (v_1-v_2$ )

Vamos convencionar o sinal positivo para as velocidades "para cima" e negativo para as velocidades "para baixo".

No choque elástico da bola com a parede, esta praticamente nao se mexe e adquire uma velocidade para cima $v_1 = v = \sqrt{2gh}$

onde

é a altura inicial do centro da bola de basket.

Apliquemos agora a equação acima para o choque da bola pequena com a bola de basket.

Antes do choque, v_1 = v

,

(porquê?), $v^\prime_1 \sim v$ (porquê?)

pelo que

$v - v^\prime-2 = -(v-(-v))$

ou seja

$v^\prime_2 = 3 v = 3\sqrt{2gh}$

Aplicando a conservação da energia ao movimento da bola pequena após o choque com a de basket, iremos concluir que a altura a que esta sobe é 9h + 2R

.

b) Podem agora generalizar o raciocínio anterior para mais bolas e verificar que é válida a relação

$v^\prime_{i+1}-v^\prime_i = -\left( v_{i+1}-v_i\right)$

Como a velocidade da bola i+1 antes do choque é

(estão todas a cair com a mesma velocidade), e $v^\prime_i \sim v_i,$ então

$v^\prime_{i+1}=2v_i + v$

ou seja:

$v^\prime_1 = v$
$v^\prime_2 = 2v + v = 3v$ (como já tínhamos visto)
$v^\prime_3 = 6v + v = 7v$
$v^\prime_4 = 14v + v = 15v$

etc...

em conclusão:

$v^\prime_n = (2^n -1)v$

e a altura a que sobe a bola é (desprezando os raios das bolas pequenas)

$H = \frac{((2^n-1)v)^2}{2g} =(2^n-1)^2h$

Assim temos

$n = 1, H = h =\rm 1~m$
$n = 2, H = \rm 9~m$
$n = 3, H = \rm 49~m$

etc.

para 1 km temos que

$2^n-1 > \sqrt{1000}$ ,

o que exige n = 6

ou mais bolas (apenas!) :shock:

2) Seja

o deslocamento do cilindro em relaçao à posição de equilíbrio. Vamos convencionar que y < 0

quando o cilindro está abaixo da linha de equilíbrio (linha de flutuação).

A resultante das forças que actuam no cilindro é $F = I - P = A (h_0 - y)\rho_ag - Ah\rho g$

onde h_0

é a altura do cilindro que está submersa na posição de equilíbrio. Assim, e como

$A h_0\rho_ag - Ah\rho g$ , a resutante das forças vem simplesmente

$F = - A\rho_a g y = -k y = M a$

Reconhece-se aqui a equação de um MHS de frequência angular

$\omega = 2\pi f = \sqrt{\frac{k}{M}} = \sqrt{\frac{\rho_a}{\rho}\frac{g}{h}}$

onde

é a altura do cilindro.

por **grizzlyjoker** em Domingo Jan 25, 2009 7:58 pm

Obrigada pela solução professor mas (acho que vou cometer um erro):
Onde diz $v^\prime_n = (2^n -1)v$ não deveria dizer $v^\prime_n = (2\,n-1)v$ ?
E assim sendo ser:
$n = 1, H = h =\rm 1~m$ ;
$n = 2, H = \rm 9~m$ ;
$n = 3, H = \rm 25~m$ ;
O que daria $\sqrt{1000}<2\,n-1$ , dando n = 17

?

por **jap** em Domingo Jan 25, 2009 8:42 pm

grizzlyjoker Escreveu:Obrigada pela solução professor mas (acho que vou cometer um erro):
Onde diz $v^\prime_n = (2^n -1)v$ não deveria dizer $v^\prime_n = (2\,n-1)v$ ?
E assim sendo ser:
$n = 1, H = h =\rm 1~m$ ;
$n = 2, H = \rm 9~m$ ;
$n = 3, H = \rm 25~m$ ;
O que daria $\sqrt{1000}<2\,n-1$ , dando ?

Obrigado pelo reparo. :wink:

Mas não, a expressão $v^\prime_n = (2^n-1)v$ está correcta, mas havia umas gralhas na minha texagem que levavam à conlusão de que a expressão final estaria errada, como bem apontaste, mas não, havia era uma expressão lá no meio que estava errada:

$v^\prime_{i+1} = 2 v_i + v$

e não (como estava anteriormente)

$v^\prime_{i+1} = v_i + 2 v$

Desculpem! :oops:

por **AMiranda** em Domingo Jan 25, 2009 9:14 pm

jap Escreveu:Aqui vai a resolução do Quark-mate I.

Reconhece-se aqui a equação de um MHS de frequência angular

$\omega = 2\pi f = \sqrt{\frac{k}{M}} = \sqrt{\frac{\rho_a}{\rho}\frac{1}{gh}}$

onde é a altura do cilindro.

Não será antes $\omega = 2\pi f = \sqrt{\frac{k}{M}} = \sqrt{\frac{\rho_a}{\rho}\frac{g}{h}}$ ? Não vejo como o g surge em baixo..

por **jap** em Domingo Jan 25, 2009 9:17 pm

AMiranda Escreveu:
jap Escreveu:Aqui vai a resolução do Quark-mate I.

Reconhece-se aqui a equação de um MHS de frequência angular

$\omega = 2\pi f = \sqrt{\frac{k}{M}} = \sqrt{\frac{\rho_a}{\rho}\frac{1}{gh}}$

onde é a altura do cilindro.

Não será antes $\omega = 2\pi f = \sqrt{\frac{k}{M}} = \sqrt{\frac{\rho_a}{\rho}\frac{g}{h}}$ ? Não vejo como o g surge em baixo..

Sim, claro, desculpem, mais uma gralha na texagem! :oops:

Obrigado pelo reparo. Já corrigi.

por **fnog** em Segunda Fev 23, 2009 12:16 pm

Aqui está o segundo Quark!-mate. Não se esqueçam que o problema dos berlindes é um TPC...

Quark!-mate II

por **jap** em Quinta Mar 19, 2009 10:34 pm

Aqui vão as provas do Quark-mate III. :wink:

Sportinguistas é favor absterem-se de enviar comentários à equipa redatorial do

-mate!

Quark-mate III

por **Drizzel** em Domingo Mar 29, 2009 6:11 pm

Esta prova vai ficar para a história... :lol:

por **Drizzel** em Segunda Mar 30, 2009 8:11 pm

A correcção da 3ª prova do Quark! - mate será disponibilizada? Pergunto porque gostava de saber se a minha resolução do fantástico exercício 3 :lol:

da prova está correcta.

P.S.: Se fosse possível disponibilizar as correcções das provas anteriores era óptimo!

por **hexphreak** em Segunda Maio 11, 2009 4:31 pm

Será possível disponibilizar as correcções das últimas provas do Quark!-mate? Especialmente da quarta... :roll:

por **jap** em Segunda Maio 11, 2009 6:08 pm

hexphreak Escreveu:Será possível disponibilizar as correcções das últimas provas do Quark!-mate? Especialmente da quarta...

Vou pedir ao fnog amanhã.

por **Miro** em Segunda Jun 08, 2009 10:15 pm

hum, entao e as restantes provas nao vao ser disponibilizadas? nem as resoluçoes?

por **Miro** em Segunda Fev 08, 2010 10:40 pm

Miro Escreveu:hum, entao e as restantes provas nao vao ser disponibilizadas? nem as resoluçoes?

up

por **jap** em Segunda Fev 08, 2010 11:20 pm

Miro Escreveu:
Miro Escreveu:hum, entao e as restantes provas nao vao ser disponibilizadas? nem as resoluçoes?

up

Sorry, eu não tenho cópia das provas nem das resoluções, têm mesmo de "chatear" o prof. fnog...

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